Question

（15分）有一種高腳酒杯，如圖所示．杯內(nèi)底面為一凸起的球面，球心在頂點(diǎn)O下方玻璃中的C點(diǎn)，球面的半徑R = 1.50cm，O到杯口平面的距離為8.0cm．在杯腳底中心處P點(diǎn)緊貼一張畫片，P點(diǎn)距O點(diǎn)6.3cm．這種酒杯未斟酒時(shí)，若在杯口處向杯底方向觀看，看不出畫片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口處向杯底方向觀看，將看到畫片上的景物．已知玻璃的折射率，酒的折射率．試通過分析計(jì)算與論證解釋這一現(xiàn)象．

Answer 1

把酒杯放平，分析成像問題．

1．未斟酒時(shí)，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₁和n₀＝1．在圖1中，P為畫片中心，由P發(fā)出經(jīng)過球心C的光線PO經(jīng)過頂點(diǎn)不變方向進(jìn)入空氣中；由P發(fā)出的與PO成α 角的另一光線PA在A處折射．設(shè)A處入射角為i，折射角為r，半徑CA與PO的夾角為θ ，由折射定律和幾何關(guān)系可得

               (1)

               (2)

在△PAC中，由正弦定理，有

                                        (3)

考慮近軸光線成像，α、i、r都是小角度，則有

               (4)

               (5)

由 (2)、(4)、(5) 式、n₀、n₁、R的數(shù)值及，可得

                                          (6)

                                         (7)

由(6)、(7)式有

               (8)

由上式及圖1可知，折射線將與PO延長(zhǎng)線相交于，即為P點(diǎn)的實(shí)像．畫面將成實(shí)像于處．

在△CA P＇中，由正弦定理有

                                          (9)

又有                                            (10)        

考慮到是近軸光線，由(9)?、(10)式可得

                                        (11)

又有

                                         (12)

由以上各式并代入數(shù)據(jù)，可得

                 (13)         

由此可見，未斟酒時(shí)，畫片上景物所成實(shí)像在杯口距O點(diǎn)7.9cm處．已知O到杯口平面的距離為8.0cm，當(dāng)人眼在杯口處向杯底方向觀看時(shí)，該實(shí)像離人眼太近，所以看不出畫片上的景物．

2．斟酒后，杯底凸球面兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和酒，折射率分別為n₁和n₂，如圖2所示，考慮到近軸光線有

          (14)

代入n₁和n₂的值，可得

         (15)

與(6)式比較，可知    

                  (16)

由上式及圖2可知，折射線將與OP延長(zhǎng)線相交于，即為P點(diǎn)的虛像．畫面將成虛像于處．計(jì)算可得

                                          (17)

又有

                       (18)

由以上各式并代入數(shù)據(jù)得

                                     ＝13cm                          （19）

由此可見，斟酒后畫片上景物成虛像于P＇處，距O點(diǎn)13cm．即距杯口21cm        ．雖然該虛像還要因酒液平表面的折射而向杯口處拉近一定距離，但仍然離杯口處足夠遠(yuǎn)，所以人眼在杯口處向杯底方向觀看時(shí)，可以看到畫片上景物的虛像．

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):

本題15分．求得（13）式給5分，說明“看不出”再給2分；求出（19）式，給5分，說明“看到”再給3分．