Question

（15分）有一種高腳酒杯，如圖所示。杯內(nèi)底面為一凸起的球面，球心在頂點O下方玻璃中的C點，球面的半徑R＝1.50cm，O到杯口平面的距離為8.0cm。在杯腳底中心處P點緊貼一張畫片，P點距O點6.3cm。這種酒杯未斟酒時，若在杯口處向杯底方向觀看，看不出畫片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口處向杯底方向觀看，將看到畫片上的景物。已知玻璃的折射率n₁＝1.56，酒的折射率n₂＝1.34。試通過分析計算與論證解釋這一現(xiàn)象。

 

 

 

Answer 1

解析：

把酒杯放平，分析成像問題。

1．未斟酒時，杯底凸球面的兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為n₁和n₀＝1。在圖1中，P為畫片中心，由P發(fā)出經(jīng)過球心C的光線PO經(jīng)過頂點不變方向進入空氣中；由P發(fā)出的與PO成a 角的另一光線PA在A處折射。設(shè)A處入射角為i，折射角為r，半徑CA與PO的夾角為q ，由折射定律和幾何關(guān)系可得

n₁sini＝n₀sinr                          （1）

q ＝i+a                                （2）

在△PAC中，由正弦定理，有

                          （3）

考慮近軸光線成像，a、i、r 都是小角度，則有

                                （4）

                             （5）

由（2）、（4）、（5）式、n₀、n_l、R的數(shù)值及cm可得

q ＝1.31i                               （6）

r ＝1.56i                               （7）

由（6）、（7）式有

r＞q                                     （8）

由上式及圖1可知，折射線將與PO延長線相交于P¢，P¢ 即為P點的實像．畫面將成實像于P¢ 處。

在△CAP¢ 中，由正弦定理有

                          （9）

又有        r＝q +b                    (10)

考慮到是近軸光線，由（9）、（l0）式可得

                             (11)

又有

                         （12）

由以上各式并代入數(shù)據(jù)，可得

 cm                  （13）

由此可見，未斟酒時，畫片上景物所成實像在杯口距O點7.9 cm處。已知O到杯口平面的距離為8.0cm，當(dāng)人眼在杯口處向杯底方向觀看時，該實像離人眼太近，所以看不出畫片上的景物。

2．斟酒后，杯底凸球面兩側(cè)介質(zhì)分別為玻璃和酒，折射率分別為n₁和n₂，如圖2所示，

考慮到近軸光線有

 

                               （14）

代入n₁和n₂的值，可得

r＝1.16i                                       （15）

與（6）式比較，可知

r＜q                                     （16）

由上式及圖2可知，折射線將與OP延長線相交于P¢，P¢ 即為P點的虛像。畫面將成虛像于P¢ 處。計算可得

                                （17）

又有

                            （18）

由以上各式并代入數(shù)據(jù)得

 cm                                （19）

由此可見，斟酒后畫片上景物成虛像于P¢處，距O點13cm．即距杯口21 cm。雖然該虛像還要因酒液平表面的折射而向杯口處拉近一定距離，但仍然離杯口處足夠遠，所以人眼在杯口處向杯底方向觀看時，可以看到畫片上景物的虛像。

評分標準：

本題15分．求得（13）式給5分，說明“看不出”再給2分；求出（l9）式，給5分，說明“看到”再給3分。