Question

7．如圖所示，坐標(biāo)系xOy平面的第一象限內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)沿y軸正方向；第四象限內(nèi)有一個(gè)以O(shè)₁為圓心，半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直xoy平面（紙面）向里，一電量為q，質(zhì)量為m的帶負(fù)電的運(yùn)動(dòng)粒子，經(jīng)過(guò)y=a處的點(diǎn)P₁時(shí)速率為v₀，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過(guò)x軸上x(chóng)=2a處的P₂點(diǎn)，最后進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)，并經(jīng)過(guò)y軸上y=-4a處的P₃點(diǎn)，已知O₁點(diǎn)坐標(biāo)為（3a，-a），不計(jì)粒子重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度V的大小和方向；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式即可求解E；
（2）先求出沿y軸方向的速度，再根據(jù)矢量合成原則求解速度大小，根據(jù)幾何關(guān)系求解方向；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式和周期公式求解．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：t=$\frac{2a}{{v}_{0}}$，
豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有：$a=\frac{1}{2}•\frac{Eq}{m}•{t}^{2}$
解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$，
（2）到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)，沿y軸方向的速度${v}_{y}=\frac{Eq}{m}t=\frac{m{{v}_{0}}^{2}q}{2aqm}•\frac{2a}{{v}_{0}}={v}_{0}$，
所以到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)的速度大小v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$，
設(shè)速度方向與x軸方向的夾角為θ，則有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，
所以θ=45°
（3）根據(jù)（2）可知，粒子以與水平方向成45°角射入磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
AP₃=3a，AO₁=3a，所以∠AO₁P₃=45°，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=a，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則有：
a=$\frac{mv}{Bq}$
解得：B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2aq}$；
（2）粒子到達(dá)P₂時(shí)速度V的大小為$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與x軸正方向成45°角；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{aq}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的大小為$\frac{\sqrt{2}πa}{4{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．