Question

17．在2014年第十屆珠海航展上，中國火星探測系統(tǒng)首次亮相，中國火星探測系統(tǒng)也由環(huán)繞器和著陸巡視器組成，火星探測系統(tǒng)到達(dá)距火星表面某一高度時(shí)，釋放的環(huán)繞器環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動，周期為T．著陸器到達(dá)火星表面著陸的最后階段，需經(jīng)過多次彈跳才能停下來，設(shè)著陸器某次從火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度大小為v₀，方向水平之后落到火星表面時(shí)速率為v₀，不計(jì)大氣阻力，忽略火星的自轉(zhuǎn)，已知火星半徑為R，引力常量為G，將火星視為球體，求：
（1）火星的平均密度；
（2）“環(huán)繞器”距離火星表面的高度．

Answer 1

分析 （1）在火星表面的物體受到的重力等于萬有引力mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，平拋過程中機(jī)械能守恒$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgh，聯(lián)立可解出火星的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式可以計(jì)算出火星的密度．
（2）環(huán)繞器環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動，周期為T，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)物體在火星表面的重力加速度為a，平拋過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgh
對天體表面的物體有：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：
g=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2h}$
M=$\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}}{2Gh}$
故火星的平均密度為：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}}{2Gh}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{8πGRh}$
（2）環(huán)繞器環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動，周期為T，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+H）$
解得：
H=$\sqrt{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$
答：（1）火星的平均密度為$\frac{3（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）}{8πGRh}$；
（2）“環(huán)繞器”距離火星表面的高度為$\sqrt{\frac{（{v}^{2}-{v}_{0}^{2}）{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$．

點(diǎn)評 本題要掌握忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，星球表面的物體受到的重力等于星球?qū)λ�的萬有引力．