Question

19．在如圖甲所示的坐標(biāo)系中，0≤X≤L的區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場．兩塊相距很近的平行于y軸小極板a、b，其中間各開一個(gè)小孔，b極板小孔A的坐標(biāo)為（0，L），兩極板件電壓U_ab隨時(shí)間t的變化如圖乙所示，電壓最大值為U₀，周期為t₀．從極板a孔連續(xù)不斷地由靜止釋放質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力），粒子經(jīng)電場加速后垂直y軸進(jìn)入磁場（粒子在兩極板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極短，粒子通過兩極板時(shí)可認(rèn)為兩極板間的電壓不變）．若t=t₀時(shí)刻（此時(shí)U_ab=U₀）釋放的粒子恰好通過D（L，0）．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）求經(jīng)過點(diǎn)E（$\frac{L}{2}$，0）的粒子通過兩極板時(shí)的加速電壓．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先經(jīng)過電場加速獲得速度，再由在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出加速得到的速度．由幾何關(guān)系求出磁場中軌跡半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求B．
（2）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，再用與上題相同的思路求解兩極板時(shí)的加速電壓．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，根據(jù)動(dòng)能定理得：
  qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$
由幾何關(guān)系可知，由D點(diǎn)射出的粒子的半徑R₀=L
解得：B=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（2）設(shè)由E點(diǎn)射出的粒子的軌跡半徑為r，速度為v，由幾何關(guān)系可知：
（L-r）²+$（\frac{L}{2}）^{2}$=r²
解得：r=$\frac{5}{8}$L
在磁場中，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得：v=$\frac{5qBL}{8m}$
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)E的粒子通過兩極板時(shí)的加速電壓為U．
則有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：U=$\frac{25}{64}$U₀．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．
（2）經(jīng)過點(diǎn)E（$\frac{L}{2}$，0）的粒子通過兩極板時(shí)的加速電壓為$\frac{25}{64}$U₀．

點(diǎn)評 帶電粒子在電場中加速時(shí)，不論是勻強(qiáng)電場還是非勻強(qiáng)電場，都可運(yùn)用動(dòng)能定理求速度．帶電粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，需要根據(jù)幾何知識作出軌跡，求出軌跡半徑．