Question

5．如圖所示，在空間內(nèi)，有一直角坐標(biāo)系xOy，在第四象限內(nèi)有一方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，直線OP與x軸正方向夾角為30°，第一象限內(nèi)有兩個(gè)垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，OP是他們的理想邊界，其中 I區(qū)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，有一質(zhì)量為m、電荷量為q的質(zhì)子（不計(jì)重力）以初速度v₀從圖中A點(diǎn)沿與y軸正方向成60°角射入勻強(qiáng)電場中，經(jīng)過電場后恰好從Q點(diǎn)垂直x軸進(jìn)入Ⅰ區(qū)磁場，先后經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ兩磁場后，以與PO方向成30°角從O點(diǎn)射出．
求（1）II區(qū)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大小
（2）質(zhì)子在磁場中偏轉(zhuǎn)的時(shí)間t
（3）電場強(qiáng)度E的大小．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在電場中做類似斜拋運(yùn)動(dòng)，采用逆向思維，是類似平拋運(yùn)動(dòng)的逆過程，根據(jù)分速度公式列式；在兩個(gè)磁場區(qū)域均是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系分析即可；
（2）質(zhì)子在兩個(gè)磁場區(qū)域均是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，找出圓心角，結(jié)合公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解即可；
（3）對(duì)在電場力運(yùn)動(dòng)過程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解即可．

解答 解：（1）由題，質(zhì)子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，豎直方向勻速直線運(yùn)動(dòng)，則到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，質(zhì)子的速度：
v=v₀cos60°=$\frac{v_0}{2}$
質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足：
$Bqv=m\frac{v^2}{R}$
由幾何關(guān)系，確定質(zhì)子在兩磁場中的圓心位置，如圖所示，則設(shè)半徑分別為R₁、R₂．
滿足：R₂=2R₁
得：${B_1}=\frac{B_0}{2}$
（2）由幾何關(guān)系，質(zhì)子在 I區(qū)磁場中偏轉(zhuǎn)的圓心角為90°，在 II區(qū)磁場中偏轉(zhuǎn)的圓心角為60°，
由運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓心角關(guān)系$t=\frac{θm}{qB}$，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
$t=\frac{πm}{{2q{B_0}}}+\frac{πm}{{3q{B_1}}}=\frac{7πm}{{6q{B_0}}}$
（3）在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理，有：
$-qE•OQ=\frac{1}{2}m{（\frac{v_0}{2}）^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
OQ=R₁+R₂sin60°=$\frac{{（1+\sqrt{3}）m{v_0}}}{{2q{B_0}}}$
解得：$E=\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$
答：（1）II區(qū)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大小為$\frac{{B}_{0}}{2}$；
（2）質(zhì)子在磁場中偏轉(zhuǎn)的時(shí)間t為$\frac{7πm}{6q{B}_{0}}$；
（3）電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{3（\sqrt{3}-1）{B}_{0}{v}_{0}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子通過磁場的邊界時(shí)，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對(duì)稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場的問題常常用到．