Question

【題目】長(zhǎng)為2d、間距為d的兩絕緣板上、下正對(duì)水平放置，兩板間有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下板中央有一粒子發(fā)射源S，能夠在紙面范圍內(nèi)垂直磁場(chǎng)向兩板間均勻地發(fā)射速率為v的同種帶正電的粒子，粒子打在板上即被板吸收，不考慮粒子間的相互作用，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)控制器可控制磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和磁場(chǎng)右邊界的位置與形狀。

(1)若磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)的右邊界是直徑為d且與上、下板均相切的半圓，S點(diǎn)為半圓與下板的切點(diǎn)（如圖甲所示），所有粒子從兩板間射出形成寬度為d的平行粒子束，求粒子的比荷；

(2)在第(1)問中，若兩板間磁場(chǎng)的右邊存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)（如圖乙所示），所有粒子均沒有從兩板右側(cè)離開，求勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的最小值及對(duì)應(yīng)的粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間。

Answer 1

【答案】(1)；(2)，

【解析】

(1)磁場(chǎng)右邊界半圓的半徑

半圓的圓心為O，粒子軌跡圓的半徑為，設(shè)某一粒子從磁場(chǎng)右邊界P點(diǎn)射出，軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心為（如圖甲所示），所有粒子從兩板間射出形成寬度為d的平行粒子束，結(jié)合幾何知識(shí)可得為菱形，故

由洛倫茲力提供向心力有

解得

(2)如圖乙所示，從垂直下板射入的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圓弧，從磁場(chǎng)邊界最右側(cè)射入電場(chǎng)的粒子最有可能從右邊離開，當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度E最小時(shí)，該粒子到達(dá)電場(chǎng)最右側(cè)時(shí)速度減為零，設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，有

由牛頓第二定律有

解得

所有粒子從電場(chǎng)中返回再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小仍為v，由對(duì)稱性知，所有粒子再次會(huì)聚在上板的正中間

粒子在圓周磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期

所有粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

所有粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

故粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為

解得