Question

19．人造衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)可近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)．一顆質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距地球表面高h(yuǎn)處繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．如果地球半徑為R，萬有引力常量為G，該衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)周期為T，求：
（1）該衛(wèi)星所受到的萬有引力是多大？
（2）地球的質(zhì)量為多大？

Answer 1

分析 因?yàn)樾l(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力，根據(jù)向心力的表達(dá)式可計(jì)算萬有引力．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h），可計(jì)算地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）因?yàn)樾l(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力充當(dāng)向心力，得該衛(wèi)星所受到的萬有引力為：
F=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）=$\frac{4{π}^{2}m（R+r）}{{T}^{2}}$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h），
得：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
答：（1）該衛(wèi)星所受到的萬有引力是$\frac{4{π}^{2}m（R+r）}{{T}^{2}}$．
（2）地球的質(zhì)量為$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力定律常用方程有（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受到的萬有引力提供向心力．這是解決這類問題常用的方程，要注意環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)半徑的表述．