Question

1．如圖所示，一光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道BC豎直放置，軌道圓心A與軌道端點C在同一豎直線上，D到AC兩點的距離相等．從A點水平拋出一小球1，同時再從A．B兩點由靜止釋放同樣的小球2和3，小球1恰擊中D點，以下說法正確的有（　�。�

• A． 1、3兩球可能在D點相碰
• B． 1球可能垂直撞擊圓弧
• C． 1、2兩球在空中運動的時間之比為1：$\sqrt{2}$
• D． 因1球初速度未知，1、2兩球直接碰到D、C兩點的速率之比無法計算

Answer 1

分析 1球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，分析3球豎直方向的受力情況，比較其豎直分加速度與g的關(guān)系，從而分析1、3兩球運動時間關(guān)系，即可判斷它們能否在D點相碰．根據(jù)平拋運動的推論：速度的反向延長線交水平位移的中點，分析1球能否垂直撞擊圓�。�根據(jù)運動學(xué)公式分析1、2兩球在空中運動的時間之比．根據(jù)機(jī)械能守恒定律分析1、2兩球直接碰到D、C兩點的速率之比．

解答 解：A、1球做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，加速度為g．3球沿圓弧軌道下滑的過程中，受到重力和軌道的支持力，軌道的支持力指向A點，有豎直向上的分力，所以3球在豎直方向的合力小于重力，豎直分加速度小于重力加速度g，3球運動到D點的時間比1球的長，所以1球擊中D點時，3球還沒有到達(dá)D點，兩者不會相碰，故A錯誤．
B、根據(jù)平拋運動的推論：速度的反向延長線交水平位移的中點，知小球1擊中D點時水平位移的中點不在圓心A，所以1球不會垂直撞擊圓弧，故B錯誤．
C、設(shè)圓弧軌道的半徑為R．據(jù)題知：△ACD是等邊三角形，則：
對1球有：$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
對2球有：R=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$，聯(lián)立解得 t₁：t₂=1：$\sqrt{2}$，故C正確．
D、根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
對1球有：m₁g•$\frac{1}{2}$R+$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
根據(jù)平拋運動的規(guī)律有 
   $\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$R=v₀t₁．
聯(lián)立可得：1球直接碰到D點時的速率 v₁=$\frac{\sqrt{7gR}}{2}$
對2球有：m₂gR=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
得2球直接碰到C點時的速率 v₂=$\sqrt{2gR}$
由上可知能求出1、2兩球直接碰到D、C兩點的速率之比．故D錯誤．
故選：C

點評 決本題的關(guān)鍵是要掌握平拋運動的研究方法：運動的分解法，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律．對平拋運動的速度也可以根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動能定理研究．