Question

10．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一固定光滑的金屬導軌，間距為L，導軌上端并聯(lián)兩個阻值均為R的電阻R₁、R₂，質(zhì)量為m的金屬細桿ab與絕緣輕質(zhì)彈簧相連，彈簧與導軌平面平行，彈簧勁度系數(shù)為k，上端固定，整個裝置處在垂直于導軌平面向外的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B，金屬細桿的電阻為r=R，初始時，連接著被壓縮的彈簧的金屬細桿被鎖定，彈簧彈力大小和桿的重力相等，現(xiàn)解除細桿的鎖定，使其從靜止開始運動，細桿第一次向下運動達最大速度為v₁，此時彈簧處于伸長狀態(tài)，再減速運動到速度為零后，再沿導軌平面向上運動，然后減速為零，再沿導軌平面向下運動，一直往復運動到靜止狀態(tài)，導軌電阻忽略不計，細桿在運動過程中始終與導軌處置并保持良好的接觸，重力加速度為g，求
（1）細桿速度達到v₁瞬間，通過R₁的電流I₁的大小和方向；
（2）桿由開始運動知道最后靜止，細桿上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁；
（3）從開始到桿第一次的速度為v₁過程中，通過桿的電量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢，然后根據(jù)閉合電路的歐姆定律以及串并聯(lián)電路特點求解通過R₁的電流，根據(jù)右手定則判斷電流方向；
（2）根據(jù)平衡條件和胡克定律求解桿最后靜止時下降高度，由能量守恒定律解得電路的總焦耳熱，再由電路的規(guī)律解得桿上的焦耳熱；
（3）當桿的速度為v₁時，由平衡條件及胡克定律求解桿下降的高度，由法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律聯(lián)立求解通過桿的電量．

解答 解：（1）桿ab速度為v₁時，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv₁
電路的總電阻為：${R_總}=\frac{3}{2}R$，
由歐姆定律，桿中的電流為：$I=\frac{E}{R_總}$，
通過R₁的電流為：${I_1}=\frac{I}{2}$，
解得：${I_1}=\frac{{BL{v_1}}}{3R}$，方向從左向右；
（2）桿最后靜止時，受到重力和彈簧的拉力，根據(jù)平衡條件和胡克定律可知，彈簧最后伸長量與原來壓縮量相同，故彈性勢能不變，桿下降高度為：
$H=\frac{2mg}{k}$，
由能量守恒定律解得電路的總焦耳熱為：
Q=mgH，
由電路的規(guī)律解得桿上的焦耳熱為：
${Q_1}=\frac{2}{3}Q=\frac{{4{m^2}{g^2}}}{3k}$；
（3）設(shè)桿最初時彈簧壓縮x₀，由胡克定律有：kx₀=mg，
當桿的速度為v₁時，彈簧伸長為x₁，加速度為0
由平衡條件及胡克定律有：mg-BIL-kx₁=0，
解得：${x_1}=\frac{mg}{k}-\frac{{2{B^2}{L^2}{v_1}}}{3Rk}$，
設(shè)從靜止到最大速度v₁過程用時間△t，由法拉第電磁感應(yīng)定律，桿中的平均電動勢為：
$\overline E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BL△x}{△t}$，
由歐姆定律，通過桿的平均電流為：
$\overline I=\frac{\overline E}{R_總}$，
通過桿的電量為：
$q=\overline I△t$，
綜上解得通過桿的總電量為：
$q=\frac{4BLmg}{3kR}-\frac{{4{B^3}{L^3}{v_1}}}{{9k{R^2}}}$．
答：（1）細桿速度達到v₁瞬間，通過R₁的電流I₁的大小為$\frac{BL{v}_{1}}{3R}$，方向從左向右；
（2）桿由開始運動直到最后靜止，細桿上產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{4{m}^{2}{g}^{2}}{3k}$；
（3）從開始到桿第一次的速度為v₁過程中，通過桿的電量為$\frac{4BLmg}{3kR}-\frac{4{B}^{3}{L}^{3}{v}_{1}}{9k{R}^{2}}$．

點評 對于電磁感應(yīng)現(xiàn)象中涉及電路問題的分析方法是：確定哪部分相對于電源，根據(jù)電路連接情況畫出電路圖，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律、以及串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特點列方程求解．