Question

8．在傾角α=30°的斜坡底湍，一小石子以v₀的初速拋出，初速度方向與水平面的夾角用θ表示，如圖所示，則：
（1）若v₀=10m/s，θ₀=60°，求石子在斜坡上的落點(diǎn)離拋出點(diǎn)的距離；
（2）θ為多大時(shí)，石子沿斜坡方向的射程最大？
（3）θ為多大時(shí)，石子垂直落在斜坡上．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合矢量合成法則，及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）依據(jù)第（1）問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合數(shù)學(xué)求解極值的方法，即可求解；
（3）將速度沿著水平方向與豎直方向分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可確定結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)石子在斜坡上的落點(diǎn)離拋出點(diǎn)的距離為s，
則在水平方向上，有：scosα=lv₀cosθ₀；
在豎直方向上，有：ssinα=lv₀sinθ₀-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
解得：s=$\frac{2{v}_{0}^{2}cos{θ}_{0}sin（{θ}_{0}-α）}{gco{s}^{2}α}$=6.7m
（2）由上分析可知，有：s=$\frac{2{v}_{0}^{2}cosθsin（θ-α）}{gco{s}^{2}α}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{gco{s}^{2}α}（sin（2θ-α）-sinα）$；
當(dāng)$θ=\frac{π}{4}+\frac{α}{2}$=60°時(shí)，射程最大；
（3）設(shè)石子垂直落到斜坡上的速度為v_t，則有速度的關(guān)系式，
水平方向上，有：v_tsinα=v₀cosθ
豎直方向上，有：-v_tcosα=v₀sinα-gt
解得：t=$\frac{{v}_{0}cos（θ-α）}{gsinα}$
由第（1）問(wèn)中的位移關(guān)系式可得，有：tanα=$\frac{{v}_{0}sinθ×t-\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}cosθ×t}$；
解得：tanθ=$\frac{1+si{n}^{2}α}{sinα•cosα}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
答：（1）若v₀=10m/s，θ₀=60°，則石子在斜坡上的落點(diǎn)離拋出點(diǎn)的距離為6.7m；
（2）θ為60°時(shí)，石子沿斜坡方向的射程最大；
（3）θ的正切值為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$時(shí)，石子垂直落在斜坡上．

點(diǎn)評(píng) 考查運(yùn)動(dòng)的合成與分解的內(nèi)容，掌握矢量的合成法則，理解數(shù)學(xué)知識(shí)在物理問(wèn)題的運(yùn)用思維．