Question

10．如圖所示，在xoy平面內(nèi)有一直線l，其方程為y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，在直線上方存在電場強度為E、方向垂直l向下的勻強電場，直線下方存在磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、所帶電荷量為+q的粒子（重力不計），在紙面內(nèi)從直線上某點M（在O點右方）以速度v=$\frac{E}{B}$射入磁場，已知運動方向與l夾角為θ=30°．求：
（1）粒子在運動過程中距直線l的最遠距離；
（2）M點距O點多遠時粒子才能通過O點．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，在電場中做類斜上拋運動，分別求出粒子距離l的最大位移，然后比較，得出哪一個是最遠距離；
（2）由于電場的方向與l垂直，粒子經(jīng)過l時，電場力對粒子做的功為0，所以每一次粒子在磁場中的運動與在電場中的運動的軌跡是相似的，具有周期性，由此即可得出結論．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，在電場中做類斜上拋運動，運動的軌跡如圖，設粒子在磁場中運動的半徑為R，則：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
在磁場中運動的粒子距離l的最遠距離設為d₁，則：
d₁=R-Rcos30°
所以：$mw78fy7_{1}=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$
在電場中運動的粒子距離l的最遠距離設為d₂，則：
$qngrimy_{2}=\frac{（vsin30°）^{2}}{2a}$
又：qE=ma
聯(lián)立得：$gt2jzux_{2}=\frac{mE}{8q{B}^{2}}＜ptprfmx_{1}$
所以，粒子在運動過程中距直線l的最遠距離是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，由幾何關系得：
${l}_{MA}=R=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
粒子第一次過l后受到垂直于l的電場力的作用，設粒子再次運動到l的時間為t，沿電場線的方向：$vsin30°=\frac{qE}{m}•t$
得：$t=\frac{mv}{qE}=\frac{m}{qB}$
垂直于電場線的方向：${l}_{AC}=v•cos30°•t=\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$
由運動的周期性可知，當${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）時，粒子均能過O點．
答：（1）粒子在運動過程中距直線l的最遠距離是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$；
（2）當${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）時，粒子均能過O點．

點評 本題考查了粒子在電場與磁場中的運動，該題中由于電場的方向由于l垂直，粒子在電場中的運動是類斜上拋運動，這是該題與其他的帶電粒子在電場中運動的題目明顯不一樣的地方，這是正確解題的關鍵．