Question

（2010?順義區(qū)二模）由于兩個物體相對位置的變化會引起引力場的能量變化，這種能量被稱作這一對物體的引力勢能．如果以無限遠處的勢能為0，則萬有引力勢能E_P可用下式進行計算：EP=-G

Mm

r

，式中m、M分別代表兩個物體的質(zhì)量，r為相對的物體m到M的中心距離，G為萬有引力恒量．假設(shè)有兩個相同質(zhì)量均為m=200kg的人造衛(wèi)星，沿距離地面為地球半徑的圓形軌道相向運行，因而經(jīng)過一段時間后發(fā)生了碰撞，碰后兩衛(wèi)星粘合在一起成為一個復(fù)合體．不計衛(wèi)星間的萬有引力及空氣阻力，（地球半徑為R=6400km，地球表面重力加速度取g=10m/s²）．求：
（1）衛(wèi)星在碰撞之前做圓運動時的速度V的大小；
（2）兩衛(wèi)星碰撞前，系統(tǒng)具有的機械能E；
（3）碰撞后兩衛(wèi)星的復(fù)合體落到地面的瞬間的速度v'的大小和方向．

Answer 1

分析：研究衛(wèi)星繞地球做圓周運動，其萬有引力提供向心力列出等式．
忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式．
系統(tǒng)具有的機械能等于動能和勢能之和．
根據(jù)動量守恒得碰撞后復(fù)合體得速度為0，再根據(jù)機械能守恒求解落到地面的瞬間的速度．

解答：解：（1）設(shè)衛(wèi)星做圓周運動的速度為v，其萬有引力提供向心力得：

GMm

(2R)2

=m

v2

2R

在地球表面：

GMm

R2

=mg
解得：v=5.66km/s
（2）碰撞前兩衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)總機械能為：
E=2（

1

2

mv²-G

Mm

2R

）
聯(lián)立以上各式，代入數(shù)值解得：
E=-

1

2

mgR=-6.4×10⁹ J
（3）設(shè)碰撞后組成的復(fù)合體速度為v₁，
根據(jù)動量守恒得：mv-mv=2mv₁
解得：v₁=0
此時復(fù)合體由靜止開始自由下落，由機械能守恒得：
-G

M?2m

2R

=

1

2

?2m?v′²-G

M?2m

R

解得：v′=8km/s
速度方向豎直向下．
答：（1）衛(wèi)星在碰撞之前做圓運動時的速度V的大小是5.66km/s；
（2）兩衛(wèi)星碰撞前，系統(tǒng)具有的機械能是-6.4×10⁹ J；
（3）碰撞后兩衛(wèi)星的復(fù)合體落到地面的瞬間的速度的大小是8km/s和方向豎直向下．

點評：本題考查了多個知識點的應(yīng)用，要能根據(jù)求解的問題選擇恰當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律求解．
運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．