Question

11．如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向沿x軸負(fù)方向．勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面．一帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）從P（0，-R）點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射入，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t₀從O點(diǎn)射出．
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的大小和方向；
（2）若僅撤去磁場(chǎng)，帶電粒子仍從P點(diǎn)以相同的速度射入，經(jīng)時(shí)間$\frac{{t}_{0}}{2}$恰好從半圓形區(qū)域的邊界射出．求粒子的加速度和射出時(shí)的速度大�。�
（3）若僅撤去電場(chǎng)，帶電粒子仍從P點(diǎn)沿Y軸正方向射入，且速度為原來(lái)的4$\sqrt{3}$倍，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)時(shí)間t₀從O點(diǎn)射出，求出粒子的速率，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)根據(jù)受電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡列方程求B的大��；
（2）僅有電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得粒子運(yùn)動(dòng)加速度大��；
（3）僅有磁場(chǎng)時(shí)，入射速度v′=4v，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可以求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的大小，由周期公式可以求得粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度為v，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．可判斷出粒子受到的電場(chǎng)力沿x軸正方向，則洛倫茲力沿X軸負(fù)方向，于是可知磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直XOY平面向外．    
且有：qE=qvB       
R=vt₀   
聯(lián)立得：$B=\frac{E{t}_{0}}{R}$
（2）僅有電場(chǎng)時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
在y方向位移：y=$v\frac{{t}_{0}}{2}=\frac{R}{2}$
設(shè)在水平方向位移為x，因射出位置在半圓形區(qū)域邊界上，于是
又有：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$
得：a=$\frac{4\sqrt{3}}{{{t}_{0}}^{2}}R$
設(shè)出射速度v₁，出射時(shí)水平分速度v_x，則：${v}_{x}=\frac{2x}{t}=\frac{2\sqrt{3}}{{t}_{0}}R$
則${v}_{1}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{v}^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{{t}_{0}}R$
（3）僅有磁場(chǎng)時(shí)，入射速度v₂=4V，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為C，圓心角為2α，如圖，設(shè)軌道半徑為r，由牛頓第二定律有：
$q{v}_{2}B=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$
又qv₂B=4qE，
qE=ma
得：r=R
由幾何關(guān)系 2α=90°
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期：
T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2πr}{{v}_{2}}$
則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t_B=$\frac{2α}{2π}$T
所以 t_B=$\frac{\sqrt{3}}{24}π{t}_{0}$
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的大小為$\frac{E{t}_{0}}{R}$，方向垂直XOY平面向外；
（2）粒子的加速度為$\frac{4\sqrt{3}}{{{t}_{0}}^{2}}R$，射出時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{13}}{{t}_{0}}R$．
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{\sqrt{3}}{24}π{t}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．