Question

如圖所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過光滑的水平軸O，兩端分別連接質(zhì)量為m的小球A和質(zhì)量為4m的物塊B，物塊B置于O點(diǎn)正下方的水平面上，拉直繩使OA水平，此時(shí)OA的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．
（1）小球A由靜止釋放繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過90°時(shí)，求小球的速度大小和物塊對(duì)地面的壓力．
（2）若保持A的質(zhì)量不變，將B換成質(zhì)量也為m的物塊，使繩OA水平，當(dāng)小球A由靜止釋放轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正下方時(shí)，物塊B的速度大小為v，求小球A的速度大小和方向（設(shè)A與B不會(huì)相碰，方向用三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）小球A由靜止釋放向下擺動(dòng)的過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律列式求出小球AA擺到OO點(diǎn)正下方時(shí)的速度，此時(shí)由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出地面對(duì)A的支持力，分析B的狀態(tài)，由平衡條件和牛頓第三定律求物塊對(duì)地面的壓力．
（2）若保持A的質(zhì)量不變，將B換成質(zhì)量也為m的物塊，A向下舞動(dòng)時(shí)，B將上升．兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．當(dāng)小球A由靜止釋放轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正下方時(shí)，A球沿繩子方向的分速度等于B的速度，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒和兩球的速度關(guān)系列式，求小球A的速度大小和方向．

解答：解：（1）對(duì)A球，在OA轉(zhuǎn)過90°的過程，設(shè)小球A在O點(diǎn)正下方時(shí)的速度為v₀，由機(jī)械能守恒得：
mgL=

1

2

m

v

2 0

解得：v₀=

2gL

A在O點(diǎn)正下方時(shí)，設(shè)繩對(duì)小球A的拉力為T，地面對(duì)物塊的支持力為N_B
對(duì)小球有：T-mg=m

v 2 0

L

解得：T=3mg
繩對(duì)物塊B的拉力 T′=T=3mg
對(duì)物塊：N_B+T′=m_Bg
解得：N_B=m_Bg-T′=4mg-3mg=mg
由牛頓第三定律可知，物塊B對(duì)地面的壓力大小 N_B′=N_B=mg，方向豎直向下．
（2）設(shè)小球A在O點(diǎn)正下方時(shí)的速度大小為v_A，與水平向左方向成θ角斜向下．
對(duì)小球A和物塊B組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒有：
mgL=

1

2

mv2+

1

2

m

v

2 A

        
解得：v_A=

2gL-v2

                                             
小球A在O點(diǎn)正下方時(shí)速度的豎直分量：v_Ay=v
速度分解如圖所示
則速度方向與水平向右夾角θ的正弦值 sinθ=

vAy

vA

=

v

2gL-v2

答：
（1）小球A由靜止釋放繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過90°時(shí)，小球的速度大小是

2gL

，物塊對(duì)地面的壓力是mg，方向豎直向下．
（2）小球A的速度大小為v_A=

2gL-v2

，速度方向與水平向右夾角θ的正弦值為

v

2gL-v2

．

點(diǎn)評(píng)：第1題中一個(gè)小球向下擺動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能守恒．第2題中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒問題，關(guān)鍵點(diǎn)是尋找兩個(gè)小球速度的關(guān)系．