Question

20．（17分）如圖甲所示，有兩塊大小不同的圓形薄板（厚度不計(jì)），質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)為0.4m的輕繩相連結(jié)．開始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0.2m處．然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R′（r<R′ <R）的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上，木板與支架發(fā)生沒有機(jī)械能損失的碰撞．碰撞后，兩板即分離，直到輕繩繃緊．在輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度v，如圖乙所示．求：（1）若M/m=K，試討論 v的方向與K值間的關(guān)系．（2）若M=m，則v值為多大？

圖甲                   圖乙

Answer 1

20. 解：

（1）本題的研究對(duì)象顯然是M和m，它們都可以看作質(zhì)點(diǎn)，也可以合在一起看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)．本題可把整個(gè)過程分三個(gè)階段處理：

第一階段，兩板看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由下落直到與固定支架發(fā)生碰撞．故碰撞前的速度為=2m/s

第二階段，以地面為參考系，M與支架C碰撞后，M以速率返回，向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，m以速率向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做不同的運(yùn)動(dòng)，這樣的物理模型比較復(fù)雜．若改變參考系，可以選擇其他的運(yùn)動(dòng)模型，從而使過程簡(jiǎn)化．以大圓板為參考系，則M靜止，小圓板以速率2向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)．一個(gè)靜止，一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)，這個(gè)運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)單多了．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后兩板間繩繃緊，有：L=2t      ①

再回到以地面為參考系的情況，    ②

    ③

解以上三式得m/s    m/s

第三階段，繩繃緊瞬間，由于板間繩作用力遠(yuǎn)大于它們的重力，所以動(dòng)量守恒，設(shè)向上為正方向，有    ④

得：     ⑤

（2）M = m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，兩板獲得向下的共同速度．還可知道：

當(dāng)k>3時(shí)，兩板獲得向上的共同速度；

當(dāng)k<3時(shí)，兩板獲得向下的共同速度；

當(dāng)k=3時(shí)，v=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．