Question

20．如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面的夾角θ=30°，傳送帶在電動機(jī)的帶動下，始終保持v₀=2m/s的速率運行，現(xiàn)把一質(zhì)量為m=10kg的工件（可看做質(zhì)點）輕輕放在傳送帶的底端，工件與傳送帶之間的摩擦系數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，經(jīng)過時間t=1.9s，工件被傳送到頂端，取g=10m/s²求：
（1）傳送帶的長度；
（2）這個過程中產(chǎn)生熱量Q
（3）電動機(jī)由于傳送工件多消耗的電能．

Answer 1

分析 （1）分析工件的受力情況，工件受到重力、支持力和沿斜面向上的滑動摩擦力作用，合力沿斜面向上，工件做勻加速運動，速度與傳送帶相等后，工件與傳送帶一起向上做勻速運動；由牛頓第二定律求出勻加速運動的加速度；再位移時間公式求解傳送帶的長度．
（2）根據(jù)相對位移求摩擦生熱Q．
（3）由功能關(guān)系知道電動機(jī)多消耗的電能都用來對系統(tǒng)做功了，而多做的功一定轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)的能量，從題意中分析出系統(tǒng)增加的能量有物體的動能、重力勢能和由于摩擦產(chǎn)生的熱能．

解答 解：（1）工件開始階段做勻加速直線運動，由牛頓第二定律，得：
μmgcosθ-mgsinθ=ma
得：a=μgcosθ-gsinθ=2.5m/s²．
加速至速度與傳送帶相同時通過的位移為：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2.5}$=0.8m，
所用時間為：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{2}{2.5}$s=0.8s
在接下來的1.1s內(nèi)工件做勻速直線運動，通過的位移為：x₂=v₀t₂=2.2m
故傳送帶的長度為：L=x₁+x₂=3m
（2）在時間t₁內(nèi)，皮帶運動的位移：x₂=v₀t₁=1.6m
工件相對皮帶的位移為△x=x₂-x₁=0.8m
在時間t₁內(nèi)，皮帶與工件的摩擦生熱為：Q=μmgcosθ•△x=60J
（3）工件獲得的動能為：E_k=$\frac{1}{2}$mv₀²=20J
工件增加的勢能為：E_p=mgLsin30°=150J
電動機(jī)多消耗的電能為：W=Q+E_k+E_p=230J
答：（1）傳送帶的長度是3m；
（2）這個過程中產(chǎn)生熱量Q是60J；
（3）電動機(jī)由于傳送工件多消耗的電能是230J．

點評 本題是物體傾斜傳送帶上有相對運動的問題，第一問中判斷物體是先加速后勻速是難點；第二問中由于摩擦產(chǎn)生的熱量要根據(jù)相對位移求，這是本題的關(guān)鍵．