Question

6．如圖所示，有兩段橫截面積不同的圓筒連接而成的汽缸，開(kāi)口向上豎直放置，上下兩段的橫截面積分別為S₁、S₂，S₁=4S₂，缸內(nèi)兩活塞封閉著兩段質(zhì)量一定的理想氣體，活塞的質(zhì)量不計(jì)，開(kāi)始時(shí)S₂恰好在下段圓筒的上口，兩段圓筒中氣柱的高度分別為h₁和h₂，大氣壓強(qiáng)為P₀，溫度為T₀，汽缸的導(dǎo)熱性良好，重力加速度為g，不計(jì)活塞的厚度，現(xiàn)在上面的活塞上放一質(zhì)量為m的物塊，求兩活塞靜止時(shí)，活塞S₁、S₂向下移動(dòng)的距離分別為多少？

Answer 1

分析 對(duì)下段封閉氣體運(yùn)用玻意耳定律，求出后來(lái)空氣柱的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用幾何關(guān)系即可求出S₂向下移動(dòng)的距離；
對(duì)上段封閉氣體運(yùn)用玻意耳定律，求出末態(tài)上段空氣的體積，再利用幾何關(guān)系，結(jié)合上下方氣缸的橫截面積，求出活塞S₁向下移動(dòng)的距離；

解答 解：由于不計(jì)活塞的質(zhì)量，因此開(kāi)始時(shí)，兩段氣體的壓強(qiáng)均為P₀，氣體的體積分別為：V₁=h₁S，V₂=h₂S
放上質(zhì)量為m的物塊后，兩段氣體的壓強(qiáng)均為：P₁=P₂=P₀+$\frac{mg}{{S}_{1}}$
設(shè)下段氣柱的長(zhǎng)度變?yōu)閔₂′，等溫變化，根據(jù)玻意耳定律可得：P₀V₂=P₂h₂′S₂
解得：h₂′=$\frac{{P}_{0}{h}_{2}{S}_{1}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
下段筒中活塞下移的距離為：△h₂=h₂-h₂′=$\frac{mg{h}_{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
對(duì)于上段氣體運(yùn)用玻意耳定律可得：P₀V₁=P₁V₁′
解得：V₁′=$\frac{{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}^{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
設(shè)S₁下移的距離為△h₁，根據(jù)幾何關(guān)系有：V₁′=（h₁-△h₁）S₁+△h₂S₂
解得：△h₁=h₁-$\frac{4{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}-mg{h}_{2}}{4（{P}_{0}{S}_{1}+mg）}$
答：活塞S₁、S₂向下移動(dòng)的距離分別為h₁-$\frac{4{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}-mg{h}_{2}}{4（{P}_{0}{S}_{1}+mg）}$和$\frac{mg{h}_{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查氣體定律的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要分析好壓強(qiáng)P、體積V、溫度T三個(gè)參量的變化情況，選擇合適的規(guī)律解決，還要準(zhǔn)確對(duì)活塞進(jìn)行受力分析，列出平衡方程，求出初末態(tài)的壓強(qiáng)．