Question

9．半徑為r的豎直光滑圓軌道固定在光滑木板AB中央，置于光滑水平桌面．圓軌道和木板AB的總質(zhì)量為m，木板AB兩端被限定，無法水平移動，可豎直移動．木板AB的右端放置足夠長的木板CD，其表面與木板AB齊平，質(zhì)量為2m．一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓軌道最低點(diǎn)以一定的初速度v₀向右運(yùn)動進(jìn)入圓軌道，運(yùn)動一周后回到最低點(diǎn)并向右滑上水平木板AB和CD，最終與木板CD保持相對靜止，滑塊與木板CD間動摩擦因數(shù)為μ，其余摩擦均不計(jì)，則：

（1）為保證滑塊能通過圓軌道的最高點(diǎn)，求初速度v₀的最小值；
（2）為保證滑塊通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，木板AB不離開地面，求初速度v₀的最大值；
（3）若滑塊恰能通過圓軌道最高點(diǎn)，求滑塊在木板CD上滑動產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）滑塊恰好能通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由此求得小球通過最高點(diǎn)的最小速度．再由機(jī)械能守恒定律求初速度v₀的最小值；
（2）要使木板AB不離地，滑塊在最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力最大為F_N=mg，由向心力公式求得最高點(diǎn)的最大速度，再由機(jī)械能守恒定律求出初速度v₀的最大值；
（3）滑塊恰能通過圓軌道最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，由機(jī)械能守恒定律求滑塊最低點(diǎn)的初速度．由受力分析可知，滑塊在木板CD上做勻減速直線運(yùn)動，木板CD做勻加速直線運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求得滑塊與木板間的相對位移，再求滑塊在木板CD上滑動產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）滑塊在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，滑塊機(jī)械能守恒，
設(shè)滑塊最低點(diǎn)的初速度為v₀₁，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
   2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{01}^{2}$
解得 v₀₁=$\sqrt{5gr}$
（2）要使木板AB不離地，滑塊在最高點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力最大為F_N=mg，滑塊在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：F_N+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
設(shè)滑塊最低點(diǎn)的初速度為v₀₂時(shí)，在最高點(diǎn)有最大速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
 2mgr+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{02}^{2}$
解得 v₀₂=$\sqrt{6gr}$
（3）由（1）可知，滑塊恰能通過最高點(diǎn)，并由機(jī)械能守恒可得，滑塊滑到木板CD時(shí)的初速度為 v₀₁=$\sqrt{5gr}$；
由受力分析可知，滑塊在木板CD上做勻減速直線運(yùn)動，木板CD做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小分別為 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg
 a₂=$\frac{μmg}{2m}$=$\frac{1}{2}$μg
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，兩者速度相等均為v，則有
  v=v₀-a₁t=a₂t
解得 t=$\frac{2\sqrt{5gr}}{3μg}$，v=$\frac{1}{3}\sqrt{5gr}$
這段時(shí)間內(nèi)，滑塊位移為 x₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$=$\frac{20r}{9μ}$
木板CD的位移為 x₂=$\frac{v}{2}t$=$\frac{5r}{9μ}$
滑塊相對木板CD的位移為 S_相對=x₁-x₂=$\frac{5r}{3μ}$
故這一過程中產(chǎn)生的熱量為 Q=fS_相對=μmg•$\frac{5r}{3μ}$=$\frac{5}{3}$mgr
答：
（1）為保證滑塊能通過圓軌道的最高點(diǎn)，初速度v₀的最小值是$\sqrt{5gr}$；
（2）為保證滑塊通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，木板AB不離開地面，初速度v₀的最大值是$\sqrt{6gr}$；
（3）若滑塊恰能通過圓軌道最高點(diǎn)，滑塊在木板CD上滑動產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{5}{3}$mgr．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是理清物體的運(yùn)動過程，把握圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的臨界條件，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行研究．