Question

16．豎直放置的平行金屬板M，N相距d=0.2m，板長(zhǎng)L₀=5m，板間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T，極板按如圖所示的方式接入電路．足夠長(zhǎng)的、間距為L(zhǎng)=1m的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF水平放置，導(dǎo)軌間有豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B．電阻為r=1Ω的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置且與導(dǎo)軌接觸良好．已知滑動(dòng)變阻器的總阻值為R=4Ω，滑片P的位置位于變阻器的中點(diǎn)．有一個(gè)質(zhì)量為m=1.0×10^-8kg、電荷量為q=+2.0×10^-5C的帶電粒子，從兩板中間左端以初速度v₀=10m/s沿中心線水平射入場(chǎng)區(qū)．不計(jì)粒子重力．其他部分電阻不計(jì)

（1）當(dāng)金屬棒ab以速度v勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子從兩板間沿直線穿過(guò)，求金屬棒ab運(yùn)動(dòng)速度v的大小和方向．
（2）為了使金屬棒ab以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)，要在金屬棒ab上增加一水平拉力，求力的大小和方向
（3）若將極板M、N間的磁場(chǎng)撤掉，其他條件不變，要使粒子能打在極板上，則金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度v至少多大？

Answer 1

分析 （1）粒子從兩板間沿直線穿過(guò)，必定做勻速直線運(yùn)動(dòng)，否則速度變化，洛倫茲力變化，不可能做直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，求出板間電壓，由串聯(lián)電路特點(diǎn)求出金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而由公式E=BLv求解v．由右手定則判斷v的方向．
（2）根據(jù)歐姆定律求出通過(guò)金屬棒的電流，由安培力公式和平衡條件求解外力的大小和方向．
（3）當(dāng)撤去MN間的磁場(chǎng)時(shí)，帶電粒子將受到電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求得金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的最小速度．

解答 解：（1）設(shè)平行金屬板M、N間電壓為U．由于粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則有：
q$\frac{U}zspm6rn$=qv₀B
可得：U=dv₀B=0.2×10×0.5V=1V
則金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=$\frac{U}{\frac{1}{2}R}$（R+r）=$\frac{1}{2}$×（4+1）V=2.5V
由E=BLv得：v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{2.5}{0.5×1}$=5m/s
由左手定則知粒子所受的洛倫茲力向上，則電場(chǎng)力向下，M板帶正電，由右手定則知金屬棒ab的速度v應(yīng)向右．
（2）通過(guò)金屬棒的電流為：
I=$\frac{U}{\frac{1}{2}R}$=$\frac{2.5}{2}$A=1.25A
由于金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)，水平外力與安培力大小相等，則外力大小為：F=BIL=0.5×1.25×1N=0.625N，方向向右．
（3）若撤掉M，N極板間磁場(chǎng)，其他條件不變，當(dāng)粒子剛好能打在極板的右邊緣時(shí)，ab棒的速度最小，設(shè)為v′．
粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
t=$\frac{{L}_{0}}{{v}_{0}}$=$\frac{5}{10}$s=0.5s
由$\fracy0jmdas{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，得：a=$\fracgtq09zb{{t}^{2}}$=$\frac{0.2}{0．{5}^{2}}$=0.8m/s²
又由牛頓第二定律得：a=$\frac{qU′}{md}$                   
金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv′
板間電壓：U=$\frac{E}{R+r}•\frac{R}{2}$
聯(lián)立得：v′=$\frac{2mda（R+r）}{BLRq}$=$\frac{2×1×1{0}^{-8}×0.2×0.8×5}{0.5×1×4×2×1{0}^{-5}}$m/s=4×10^-4m/s
金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度v至少為4×10^-4m/s．
答：（1）金屬棒ab運(yùn)動(dòng)速度v的大小為5m/s，方向向右．
（2）為了使金屬棒ab以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)，要在金屬棒ab上增加一水平拉力，拉力的大小為0.625N，方向向右．
（3）金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度v至少為4×10^-4m/s．

點(diǎn)評(píng) 金屬棒的切割磁感線，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，金屬棒相當(dāng)于一個(gè)電源接入電路．當(dāng)金屬棒勻速直線運(yùn)動(dòng)，其電動(dòng)勢(shì)穩(wěn)定．本題關(guān)鍵要抓住電磁感應(yīng)與電路的聯(lián)系紐帶：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，能正確分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，判斷其受力情況，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律處理帶電粒子在磁場(chǎng)、復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題．