Question

15．如圖所示，一個質(zhì)量為M長為L的圓管豎直放置，頂端塞有一個質(zhì)量為m的彈性小球，M=4m，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．管從下端離地面距離為H=5m處自由落下，運(yùn)動過程中，管始終保持豎直，每次落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等，由于管落地時與地面作用時間很短，在管碰地時間內(nèi)可認(rèn)為球的速度不變．不計空氣阻力，重力加速度為g=10m/s²．求：
（1）管第一次落地彈起時管和球的加速度；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時，管的下端距地面的高度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即可求解．
（2）根據(jù)管上升的加速度，以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時間和管從碰地到與球相對靜止所需的時間，比較兩個時間知道球與管的運(yùn)動情況，再根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求出管上升的最大高度．

解答 解：（1）管第一次落地彈起時，
管的加速度a₁=$\frac{Mg+f}{M}$=2g=20m/s²，方向向下；
球的加速度a₂=$\frac{f-mg}{m}$=3g=30m/s²，方向向上；
（2）取豎直向下為正方向．球與管第一次碰地時速度v₀=$\sqrt{2gH}=\sqrt{20×5}$m/s=10m/s，方向向下．
碰地后管的速度v₁=$\sqrt{2gH}=\sqrt{20×5}$m/s=10m/s，方向向上；
球的速度v₂=$\sqrt{2gH}=\sqrt{20×5}$m/s=10m/s，方向向下；
若球剛好沒有從管中滑出，設(shè)經(jīng)過時間t₁，球管速度v相同，
則有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
解得t₁=0.4s；
又管從碰地到它彈到最高點(diǎn)所需時間t₂，則：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=0.5s，
因?yàn)閠₁＜t₂，說明管在達(dá)到最高點(diǎn)前，球與管相對靜止，故管從彈起經(jīng)t₁這段時間上升的高度為：
h=v₁t₁-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=2.4m．
答：（1）管第一次落地彈起時管的加速度為20m/s²，方向向下；球的加速度為30m/s²，方向向上；
（2）管第一次落地彈起后，若球沒有從管中滑出，則球與管達(dá)到相同速度時，管的下端距地面的高度為2.4m．

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于管和球的運(yùn)動情況難于判斷，關(guān)鍵通過計算理清球和管的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．