Question

3．如圖所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個勻強(qiáng)磁場，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計微粒的重力．求：
（1）微粒在磁場中運(yùn)動的周期；
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動速度大�。�
（3）若向里磁場是有界的，分布在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間的區(qū)域，上述微粒仍從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，且微粒仍能到達(dá)Q點(diǎn)，求其速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中只受洛倫茲力，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動．由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動規(guī)律求出周期．
（2）根據(jù)題意作出粒子可能的運(yùn)動軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學(xué)知識分析答題．
（3）由幾何知識分析軌跡半徑的最大值，由半徑公式求出速度的最大值．

解答 解：（1）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$及T=$\frac{2πr}{v}$得：
微粒在磁場中運(yùn)動的周期  T=$\frac{2πm}{Bq}$．
（2）令n表示帶電粒子在磁場中運(yùn)動時的圓心個數(shù)，則
由幾何關(guān)系可知，微粒運(yùn)動的軌道半徑r應(yīng)滿足：r=Rtan$\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…），
結(jié)合（1）可知，v=$\frac{qBr}{m}=\frac{qB}{m}Rtan\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…）；
相應(yīng)的運(yùn)動軌跡所對應(yīng)的圓心角φ滿足：
①當(dāng)n為偶數(shù)時，φ=（2π-$\frac{n-1}{n}$π）$\frac{n}{2}$+$\frac{n-1}{n}$π$•\frac{n}{2}$=nπ；（n=2，4，6，8，…）
②當(dāng)n為奇數(shù)時，φ=（2π-$\frac{n-1}{n}$π）$\frac{n+1}{2}$+$\frac{n-1}{n}$π$•\frac{n-1}{2}$=$\frac{{n}^{2}+1}{n}$；（n=3，5，7，9，…）
對應(yīng)的運(yùn)動時間t滿足：
①當(dāng)n為偶數(shù)時，t=$\frac{n}{2}T=\frac{nπm}{Bq}$，（n=2，4，6，8，…）；
②當(dāng)n為奇數(shù)時，t=$\frac{{n}^{2}+1}{n}•\frac{T}{2}$=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nBq}$；（n=3，5，7，9，…）
（3）由幾何關(guān)系可知，r_n+$\frac{{r}_{n}}{sin\frac{π}{2n}}$≤2R，（n=2，3，4，5，…）；
得：當(dāng)n=3時，r可取滿足條件的最大值，r_max=$\frac{\sqrt{3}}{3}R$，
相應(yīng)的粒子速度v_max=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．
相應(yīng)的運(yùn)動軌跡如圖所示．

答：
（1）微粒在磁場中運(yùn)動的周期為$\frac{2πm}{Bq}$；
（2）從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，微粒的運(yùn)動速度大小為$\frac{qB}{m}Rtan\frac{π}{2n}$，（n=2，3，4，5，…）；對應(yīng)的運(yùn)動時間；①當(dāng)n為偶數(shù)時，t=$\frac{nπm}{Bq}$，（n=2，4，6，8，…）；②當(dāng)n為奇數(shù)時，t=$\frac{（{n}^{2}+1）πm}{nBq}$；（n=3，5，7，9，…）；
（3）速度的最大值是$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$．

點(diǎn)評 此題對運(yùn)動軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問題的一種方法．同時要利用圓的特性與物理規(guī)律相結(jié)合．本題是一道難題，根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動軌跡是本題解題的難點(diǎn)，也是正確解題的關(guān)鍵．