Question

3．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在圓心為C半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在原點(diǎn)O放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它發(fā)射出具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度大小為v的帶電微粒，速度方向分布在xOy平面第一和第二象限內(nèi)的各個(gè)方向上．重力加速度大小為g．已知從O點(diǎn)沿y軸正方向豎直向上發(fā)射的帶電微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后一直平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)打到PN熒光屏上，PN熒光屏垂直x軸，PN屏的長(zhǎng)度大于2R．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（2）求PN屏上光斑長(zhǎng)度
（3）若撤除勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且保持勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點(diǎn)沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子 落到圓周上D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）時(shí)的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點(diǎn)的速度都要大．求初速度v的大小？
當(dāng)粒子 恰好落到圓周上D點(diǎn)時(shí)，是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上．若有，求出其它粒子在圓周上的落點(diǎn)到D點(diǎn)的距離；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與方向；由幾何關(guān)系確定粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，然后根據(jù)半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）為使這些帶電微粒經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng)，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求出符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的圓方程，最后求出PN屏上光斑長(zhǎng)度．
（3）沒(méi)有磁場(chǎng)時(shí)，粒子在豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻變速運(yùn)動(dòng)，可以先求出合力，然后使用拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解答．

解答 解：（1）由題目中“從O點(diǎn)沿y軸正方向豎直向上發(fā)射的帶電微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后一直平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)打到PN熒光屏上”可知，帶電微粒所受重力與電場(chǎng)力平衡．設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，由平衡條件得：
mg=qE
得E=$\frac{mg}{q}$
電場(chǎng)方向沿y軸正方向
帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于微粒射出磁場(chǎng)區(qū)域后一直平行于x軸作直線運(yùn)動(dòng)，所以圓運(yùn)動(dòng)半徑r=R．
設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$ 
由左手定則可知，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里
（2）設(shè)由帶電微粒發(fā)射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，θ滿足0＜θ＜π，由于帶電微粒最終將沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，
故B應(yīng)垂直于xoy平面向里，帶電微粒在磁場(chǎng)內(nèi)做半徑為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
由于帶電微粒的入射方向不同，由于磁場(chǎng)的范圍在題目的要求內(nèi)，則它們所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示

所以PN屏上光斑的范圍是0-2R，長(zhǎng)度是2R．
（3）Ⅰ．若撤除勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且保持勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點(diǎn)沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子 落到圓周上D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）時(shí)的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點(diǎn)的速度都要大，則D點(diǎn)的圓的切線的方向與重力、電場(chǎng)力的合力的方向垂直如圖：
由于mg=qE，所以合力的方向沿CD的方向，與豎直方向之間的夾角是45°，設(shè)粒子到達(dá)D的時(shí)間為t，垂直于CD的方向：vt=r•cos45°   ①
沿CD方向：y=$r（1-cos45°）=\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ②
粒子的加速度：$a=\frac{{F}_{合力}}{m}=\frac{\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}}{m}=\sqrt{2}g$  ③
聯(lián)立①②③得：$t=\sqrt{\frac{\sqrt{2}R}{g}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）}$
v=$\frac{\sqrt{2}r}{v}=\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$
Ⅱ．若粒子入射的方向與垂直于CD方向的夾角是θ，如圖，則則t時(shí)間內(nèi)沿CD方向的位移：

$y′=v•sinθ•t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$  ④
比較②④兩式可得，由于除到達(dá)D點(diǎn)的粒子，其他方向運(yùn)動(dòng)的粒子在t時(shí)間內(nèi)沿CD方向的位移y′與y一定不相等，所以當(dāng)粒子 恰好落到圓周上D點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有其它粒子同時(shí)落到圓周上．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度是$\frac{mg}{q}$，電場(chǎng)方向沿y軸正方向；磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{m{v}_{0}}{qR}$，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里．
（2）PN屏上光斑長(zhǎng)度是2R．
（3）若撤除勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且保持勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小不變，方向改為水平向右．調(diào)節(jié)初速度v的大小，使得從O點(diǎn)沿與x軸正方向成45°方向發(fā)射的粒子 落到圓周上D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）時(shí)的速度比沿其他方向發(fā)射的粒子落到圓周上其他各點(diǎn)的速度都要大．初速度v的大小為$\sqrt{\frac{gR}{2-\sqrt{2}}}$；當(dāng)粒子 恰好落到圓周上D點(diǎn)時(shí)，沒(méi)有其它粒子同時(shí)落到圓周上．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是由數(shù)學(xué)知識(shí)求是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上，平時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．