Question

8．如圖所示，在xOy平面內(nèi)半徑為R的圓O₁與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，在該圓形區(qū)域內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于圓面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)帶正電的粒子從O點(diǎn)以一定的速度沿x軸進(jìn)入場(chǎng)區(qū)．若場(chǎng)區(qū)內(nèi)只存在勻強(qiáng)電場(chǎng)或勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，該粒子恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，穿過地區(qū)的時(shí)間為T₀；若電場(chǎng)、磁場(chǎng)都撤去，其他條件都不變，該粒子穿過場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為$\frac{1}{2}$T₀．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值．
（2）若電場(chǎng)、磁場(chǎng)都存在，其他條件都不變，求該粒子穿過場(chǎng)區(qū)的時(shí)間．
（3）若電場(chǎng)、磁場(chǎng)都存在，無(wú)數(shù)多個(gè)粒子以相同的速率向圓形場(chǎng)區(qū)平面內(nèi)不同方向射出，其他條件都不變，用陰影表示出進(jìn)入場(chǎng)區(qū)的粒子穿過場(chǎng)區(qū)時(shí)，在圓形場(chǎng)區(qū)內(nèi)所能到達(dá)區(qū)域并求出其面積．（直接畫圖即可，不需要說明理由）

Answer 1

分析 （1）只有重力場(chǎng)和電場(chǎng)時(shí)，有qE=mg，只有重力場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，qvB=mg，即可求得E與B的比值．
（2）若電場(chǎng)、磁場(chǎng)都撤去，粒子做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式列式．研究三種場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)的情況，畫出軌跡，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系得到軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求得時(shí)間．
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求解即可．

解答 解：（1）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，粒子速度為v，質(zhì)量為m，電荷量為q．
只有重力場(chǎng)和電場(chǎng)時(shí)，有 qE=mg
只有重力場(chǎng)和磁場(chǎng)時(shí)，有qvB=mg
且vT₀=2R，得 $\frac{E}{B}$=$\frac{2R}{{T}_{0}}$
（2）電場(chǎng)、磁場(chǎng)都撤去后，粒子做平拋運(yùn)動(dòng)，則
  x=v$•\frac{{T}_{0}}{2}$，y=$\frac{1}{2}g（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}$
又粒子落在圓周上，可知 x=R，y=R
三場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡如圖1所示，設(shè)在場(chǎng)區(qū)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為2α
由牛頓第二定律得 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 r=$\frac{R}{2}$
由幾何關(guān)系有 tanα=$\frac{R}{r}$=2
粒子在場(chǎng)區(qū)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t=$\frac{2α}{2π}$T，T=$\frac{2πr}{v}$
解得粒子穿過場(chǎng)區(qū)的時(shí)間 t=$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2
（3）如圖2所示，粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)后做半徑為 r=$\frac{R}{2}$的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)粒子沿y軸負(fù)方向進(jìn)入場(chǎng)區(qū)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為圓C，以原點(diǎn)O為圓心，R為半徑做圓，交圓形場(chǎng)區(qū)于D點(diǎn)（第一象限內(nèi)），則曲線OEO₁DO所圍圖形的面積即為面積S．
根據(jù)幾何知識(shí)可得 S=$\frac{1}{2}π（\frac{R}{2}）^{2}$+2×$\frac{1}{6}π{R}^{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$=（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值為$\frac{2R}{{T}_{0}}$．
（2）若電場(chǎng)、磁場(chǎng)都存在，其他條件都不變，該粒子穿過場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為$\frac{{T}_{0}}{2}$arctan2．
（3）進(jìn)入場(chǎng)區(qū)的粒子穿過場(chǎng)區(qū)時(shí)，在圓形場(chǎng)區(qū)內(nèi)所能到達(dá)區(qū)域?yàn)镺EO₁DO，如圖，面積為（$\frac{11}{24}$π-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）R²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．