Question

3．一衛(wèi)星繞火星表面附近做勻速圓周運動，繞行n圈用時為t．假設(shè)宇航員在火星表面以初速度v水平拋出一小球，經(jīng)過時間t₁恰好垂直打在傾角α=30°的斜面體上，已知引力常量為G，則火星的質(zhì)量為（　　）

• A． $\frac{3{v}^{3}{t}^{4}}{16G{t}_{1}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}{v}^{3}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• C． $\frac{3{v}^{2}{t}^{4}}{16G{t}_{1}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}{v}^{2}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$

Answer 1

分析 小球垂直落在斜面上時速度方向與豎直方向之間的夾角是α，利用速度的合成與分解可以求出火星表面附近的重力加速度g；再根據(jù)重力等于向心力，求得火星的半徑．根據(jù)萬有引力等于重力，求解火星的質(zhì)量．

解答 解：據(jù)題小球垂直落在斜面上時速度方向與豎直方向之間的夾角是α，則落在斜面上時豎直分速度為 
v_y=vcotα=$\sqrt{3}v$
又v_y=gt₁
解得火星表面附近的重力加速度為：g=$\frac{\sqrt{3}v}{{t}_{1}}$
設(shè)火星的半徑為R，質(zhì)量為M．一衛(wèi)星繞火星表面附近做勻速圓周運動，繞行n圈用時為t，則周期為$T=\frac{t}{n}$
根據(jù)重力等于向心力，得：mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}}{{t}^{2}}R$
根據(jù)萬有引力等于重力，得：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$ 
聯(lián)立解得：M=$\frac{3\sqrt{3}{v}^{3}{t}^{4}}{16G{{t}_{1}}^{3}{π}^{4}{n}^{4}}$
故選：B．

點評 該題把平拋運動與萬有引力相結(jié)合，關(guān)鍵要抓住重力等于向心力、萬有引力等于重力這兩個基本思路，求解天體的質(zhì)量．