Question

11．一質量為m=0.5kg的小物體從足夠高的光滑曲面上自由滑下，然后滑上一水平傳送帶．已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.2，傳送帶水平部分的長度L=5m，兩端的傳動輪半徑為R=0.2m，在電動機的帶動下始終以ω=15rad/s的角速度沿順時針勻速轉運，傳送帶下表面離地面的高度h不變．如果物體開始沿曲面下滑時距傳送帶表面的高度為H，初速度為零，g取10m/s²．求；
（1）當H=0.2m時，物體通過傳送帶過程中，電動機多消耗的電能．
（2）當H=1.25時，物體通過傳送帶后，在傳送帶上留下的劃痕的長度．
（3）H在什么范圍內時，物體離開傳送帶后的落地點在同一位置．

Answer 1

分析 （1）物體m從頂部滑到底端過程，機械能守恒，根據守恒定律列式求出物體滑上傳送帶時的速度；傳送帶勻速運動的速度v=Rω，根據牛頓第二定律得到物體在傳送帶上滑動的加速度大小，由運動學公式求得相對滑動的時間，從而得到物體對地和對傳送帶的相對位移，再根據功能關系求解．
（2）物體通過在傳送帶上留下的劃痕的長度等于兩者相對位移的大小，采用與上題相同的思路解答．
（3）當物體在傳送帶上減速至v時，離開傳送帶后的落地點在同一位置，由運動學公式和機械能守恒結合求解．

解答 解：（1）傳送帶勻速運動的速度 v=Rω=0.2×15=3m/s
物塊與傳送帶間有相對運動時的加速度大小 a=$\frac{f}{m}$=2m/s²；
當H=0.2m時，物體沿曲面下滑的過程中機械能守恒，則
  mgH₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得 v₁=$\sqrt{2g{H}_{1}}$=2m/s
 相對滑動時間 t₁=$\frac{v-{v}_{1}}{a}$=$\frac{3-2}{2}$s=0.5s
 物塊對地位移 s₁=v₁t₁+$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=2.5m
傳送帶前進的位移 s₂=vt₁=1.5m
所以上述過程中電動機多消耗的電能 W=Q+△E_k=μmg（s₂-ss₁）+$\frac{1}{2}m（{v}^{2}-{v}_{1}^{2}）$=1.5J
（2）當H₂=1.25時，物塊滑上傳送帶的速度為 v₂．
由mgH₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，得 v₂=$\sqrt{2g{H}_{2}}$=5m/s＞v
則物塊減速時間 t₂=$\frac{{v}_{2}-v}{a}$=1s
物塊前進距離  s₁′=v₂t₂-$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$=4m＜L
t₂時間內傳送帶前進 s₂′=vt₂=3m
故劃痕的長度△s=s₁′-s₂′=1m
（3）設物體滑上傳送帶的初速度為v₃時，減速至右端的速度剛好為v，則 v²-${v}_{3}^{2}$=2aL
得 ${v}_{3}^{2}$=29（m/s）²；
又 mgH₃=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
H₃=1.45m
則當H≤1.45m時，物體離開傳送帶后的落地點在同一位置．
答：
（1）當H=0.2m時，物體通過傳送帶過程中，電動機多消耗的電能是1.5J．
（2）當H=1.25時，物體通過傳送帶后，在傳送帶上留下的劃痕的長度為1m．
（3）當H≤1.45m時，物體離開傳送帶后的落地點在同一位置．

點評 要注意分析產生的熱量即為摩擦力與相對位移間的乘積，再由能量守恒即可求得總能量，要注意分析能量間的相互轉化．