Question

如下圖1是過(guò)山車(chē)的實(shí)物圖，圖2為過(guò)山車(chē)的模型圖．在模型圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個(gè)光滑圓形軌道固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)高度相同，圓形軌道與斜軌道之間連接圓滑．為使小車(chē)從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)能過(guò)A、B兩點(diǎn)，求小車(chē)在P點(diǎn)的速度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（小車(chē)可視作質(zhì)點(diǎn)，已知斜軌道面與小車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

1

24

．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：首先根據(jù)小車(chē)在P點(diǎn)的初速度10m/s，與第一問(wèn)中v₀比較，分析小車(chē)能否安全通過(guò)圓弧軌道O₁．若小車(chē)恰能通過(guò)B點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車(chē)通過(guò)B點(diǎn)的臨界速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出小車(chē)在P點(diǎn)的臨界速度，再確定小車(chē)能否安全通過(guò)兩個(gè)圓形軌道．

解答：解：由動(dòng)能定理可得小車(chē)在B點(diǎn)的速度小于在A點(diǎn)的速度，而過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度滿(mǎn)足 mg=

mv2

R

，故小車(chē)若能過(guò)B點(diǎn)，則一定能過(guò)A點(diǎn)．
設(shè)小車(chē)在P點(diǎn)的速度為v₀時(shí)，恰能過(guò)B點(diǎn)，則在B點(diǎn)時(shí)有：mg=

m v 2 B

R2

．
P點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：-（μmgcosα）L₂=

1

2

mv

2 B

-

1

2

mv

2 0

其中L₂為PZ的距離，滿(mǎn)足L₂=

R2(1+cosα)

sinα

=24m/s
解得：v₀=4

6

m/s
則小車(chē)在P點(diǎn)的速度滿(mǎn)足的條件為v_p≥4

6

m/s．
答：小車(chē)在P點(diǎn)的速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件是v_p≥4

6

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型，關(guān)鍵抓住最高點(diǎn)的臨界條件，結(jié)合動(dòng)能定理分析求解．