Question

（2013?靜安區(qū)二模）如圖所示，是磁流體動力發(fā)電機(jī)的工作原理圖． 一個(gè)水平放置的上下、前后封閉的矩形塑料管，其寬度為a，高度為b，其內(nèi)充滿電阻率為ρ的水銀，由渦輪機(jī)產(chǎn)生的壓強(qiáng)差p使得這個(gè)流體具有恒定的流速v₀．管道的前后兩個(gè)側(cè)面上各有長為L的由銅組成的面，實(shí)際流體的運(yùn)動非常復(fù)雜，為簡化起見作如下假設(shè)：
a．盡管流體有粘滯性，但整個(gè)橫截面上的速度均勻；
b．流體的速度總是與作用在其上的合外力成正比；
c．導(dǎo)體的電阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分別為導(dǎo)體的電阻率、長度和橫截面積；
d．流體不可壓縮．
若由銅組成的前后兩個(gè)側(cè)面外部短路，一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場只加在這兩個(gè)銅面之間的區(qū)域，磁感強(qiáng)度為B（如圖）．
（1）寫出加磁場后，兩個(gè)銅面之間區(qū)域的電阻R的表達(dá)式
（2）加磁場后，假設(shè)新的穩(wěn)定速度為v，寫出流體所受的磁場力F與v關(guān)系式，指出F的方向
（3）寫出加磁場后流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式（用v₀、p、L、B、ρ表示）；
（4）為使速度增加到原來的值v₀，渦輪機(jī)的功率必須增加，寫出功率增加量的表達(dá)式（用v₀、a、b、L、B和ρ表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電阻定律求出兩個(gè)銅面之間區(qū)域的電阻R的表達(dá)式．
（2）結(jié)合安培力的大小公式，以及I=

Bav

R

求出磁場力F與v關(guān)系式．根據(jù)左手定則得出磁場力的方向．
（3）不加磁場時(shí)，壓力差等于kv₀，施加磁場時(shí)，壓力差與安培力的合力等于kv，根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系求出新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式．
（4）功率的增加量等于壓力差功率的增加量，根據(jù)壓力差的變化求出功率增加量的表達(dá)式．

解答：解：（1）根據(jù)電阻定律得，R=ρ

a

bL

，
（2）∵F_A=BIa，
I=

Bav

R

．
再利用（1）的結(jié)論，可推得
∴FA=

1

ρ

abLvB2．
力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）不加磁場時(shí)：pab=kv₀．
加磁場時(shí)：pab-F_A=kv．
由上面二式，得FA=pab-

pab

v0

v．
再利用（2）的結(jié)論，可推得
v=

pρv0

pρ+Lv0B2

．
（4）∵△P=P₂-P₁，P₁=pabv₀，P₂=p′abv₀，
∴△P=（p′ab-pab）v₀．
∵p′ab-F_A′=kv₀，pab=kv₀，
∴△P=F_A′v₀．
∵FA′=

1

ρ

abLv0B2．
∴△P=

1

ρ

abLv02B2．
答：（1）兩個(gè)銅面之間區(qū)域的電阻R的表達(dá)式R=ρ

a

bL

．
（2）流體所受的磁場力F與v關(guān)系式FA=

1

ρ

abLvB2，力F_A的方向與流速v的方向反向．
（3）加磁場后流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式v=

pρv0

pρ+Lv0B2

．
（4）功率增加量的表達(dá)式△P=

1

ρ

abLv02B2．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵掌握電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點(diǎn)在于通過平衡求出流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式．