Question

4．“嫦娥三號(hào)”于2013年12月2日凌晨在四川省西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，先后經(jīng)過近月制動(dòng)、環(huán)月圓軌道飛行（軌道高度距月表100km）、變軌控制進(jìn)入環(huán)月橢圓軌道運(yùn)行等動(dòng)作，在著陸準(zhǔn)備階段“嫦娥三號(hào)”從距月表15km的近月點(diǎn)（著陸制動(dòng)點(diǎn)）開始在7500N的變推力空間發(fā)動(dòng)機(jī)的作用下開始減速，在距月表100m時(shí)懸停，借“眼睛”觀測(cè)著陸區(qū)狀況，由于月球表面沒有空氣，所以不能使用降落傘實(shí)現(xiàn)“嫦娥三號(hào)”的軟著陸，而用空間發(fā)動(dòng)機(jī)向下噴氣實(shí)現(xiàn)軟著陸又會(huì)吹起月球表的塵埃而影響“嫦娥三號(hào)”著陸后的工作，為此要在“嫦娥三號(hào)”落至距月表4m高時(shí)再次使其速度減為零，并關(guān)閉所有發(fā)動(dòng)機(jī)，使“嫦娥三號(hào)”直接落向月表．
     已知月球半徑是地球半徑的$\frac{3}{11}$，質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{81}$，地球表面的重力加速度為g=10m/s²，地球的半徑R=6.4×10⁶m，“嫦娥三號(hào)”的質(zhì)量m=140kg．求：
（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大�。唬ūＡ�2位有效數(shù)字）
（2）“嫦娥三號(hào)”軟著陸時(shí)到達(dá)月表的速度的大��；（保留2位有效數(shù)字）
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，空間發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”所做的功．

Answer 1

分析 （1）在星球表面根據(jù)萬有引力與重力相等由地球表面重力加速度求得月球表面重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供嫦娥三號(hào)圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得嫦娥三號(hào)在軌道上的速度大小；
（2）根據(jù)自由落體由月球表面的重力加速度和下落高度求得嫦娥三號(hào)到達(dá)月球表面的速度大小；
（3）在此過程中只有重力和發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)嫦娥三號(hào)做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功即可．

解答 解：（1）據(jù)星球表面重力與萬有引力相等有
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{G\frac{1}{81}M}{（\frac{3}{11}R）^{2}}=\frac{121}{729}g=1.6m/{s}^{2}$
對(duì)于月球的半徑R′=$\frac{3}{11}R=\frac{3}{11}×6.4×1{0}^{6}m$=1.75×10⁶m
所以有：$G\frac{mM′}{R{′}^{2}}=mg′$
在環(huán)月軌道上有：$G\frac{mM′}{（R′+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R′+h}$
可得$v=\sqrt{\frac{GM′}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{g′R{′}^{2}}{R′+h}}$=$\sqrt{\frac{1.6×（1.75×1{0}^{6}）^{2}}{1.75×1{0}^{6}+100×1{0}^{3}}}m/s$=1.6×10³m/s
（2）嫦娥三號(hào)軟著陸過程中為自由落體運(yùn)動(dòng)，據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，到達(dá)月球表面的速度
${v}_{1}=\sqrt{2g′h′}=\sqrt{2×1.6×4}m/s$=3.6m/s
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，只有月球重力和發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)嫦娥三號(hào)做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
mg′H+W=0-0
可得W=-mg′H=-140×1.6×（100-4）J=-21504J
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道上運(yùn)動(dòng)的速度大小1.6×10³m/s；
（2）“嫦娥三號(hào)”軟著陸時(shí)到達(dá)月表的速度的大小為3.6m/s；
（3）從懸停在100m處至落到月球表面的過程中，空間發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥三號(hào)”所做的功為-21504J．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力應(yīng)用問題主要從萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力兩方面入手求解，注意結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律和機(jī)械能守恒．