Question

11．如圖，在粗細(xì)均勻一端封閉的U形玻璃管中，用長為45cm的水銀柱封閉有一段理想氣體，U形管豎直放置，當(dāng)溫度為400K時(shí)，封閉空氣柱長45cm．當(dāng)溫度升高到500K時(shí)，此時(shí)管中有水銀，空氣柱長多少厘米？當(dāng)溫度升高到多少K時(shí)，水銀能全部從開口端溢出？（已知大氣壓強(qiáng)為75cmHg）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)溫度升高到500K時(shí)，設(shè)水銀柱全部在右側(cè)豎管內(nèi)，長度為h，結(jié)合幾何關(guān)系求出氣體的長度，然后由理想氣體的狀態(tài)方程即可求出；
（2）在溫度升高的過程中，可能有兩種情況：
a．溫度升高的過程中水銀一點(diǎn)點(diǎn)溢出，空氣柱的長度也一點(diǎn)點(diǎn)的變長，水銀柱恰好全部溢出時(shí)，氣柱的長度為整個(gè)試管的長度；
b．溫度升高的過程中，開始時(shí)水銀一點(diǎn)點(diǎn)溢出，空氣柱的長度也一點(diǎn)點(diǎn)的變長，而在某一個(gè)特殊點(diǎn)，剩余的水銀一下子全部溢出．
由于第二種的情況存在一個(gè)極值，所以也可以先判定該極值，求出氣體的長度，然后與試管的長度比較即可．

解答 解：（1）首先判斷溫度是否到500K時(shí)，水平部分管中還存在水銀，可以假設(shè)水銀柱剛好全部進(jìn)入右側(cè)豎直管中，設(shè)此時(shí)溫度為T₀，則空氣柱長度是50cm，由等壓過程可得：$\frac{{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{V}_{2}}{{T}_{0}}$代入數(shù)據(jù)得：T₀=444 K
   因?yàn)門₀＜500K可假設(shè)到500K時(shí)空氣柱長度是x，則有：
   初態(tài)：P₁=75+40=115 cmHg　 V₁=45 S　 T₁=400K
   末態(tài)：P₂=（115-x） cmHg　 V₂=（50+x） S　 T₂=500K
根據(jù)理想氣體方程：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
聯(lián)立得：x=14.1cm　 則空氣柱長度為64.1cm．
（2）設(shè)溫度升高到T₃時(shí)，管中剩余的水銀柱的長度為L時(shí)，水銀柱一下子全部溢出，此時(shí)氣體的壓強(qiáng)：P₃=P₀+L=75+L （cmHg）
氣體的體積：V₃=（40+10+40-L）•S
由理想氣體方程：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{{T}_{3}}$=C
可知，當(dāng)P₃V₃的乘積最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的溫度最高．而：P₃V₃=（75+L）•（90-L）
由二項(xiàng)式定理可知，當(dāng)75+L=90-L時(shí)，即：L=7.5cm時(shí)，P₃V₃的乘積最大，此時(shí)：P₃=75+7.5=82.5cmHg，V₃=90S-7.5S=82.5S
由此可知，分析中的a假設(shè)是錯(cuò)誤的，要考慮在某一個(gè)特殊點(diǎn)，剩余的水銀一下子全部溢出的情況．
代入$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{{T}_{3}}$得：T₃=6=526.1K
即當(dāng)溫度升高到526.1K時(shí)，剩余的7.5cm的水銀柱將一下子全部溢出．
答：當(dāng)溫度升高到500K時(shí)，此時(shí)管中有水銀，空氣柱長64.1厘米；當(dāng)溫度升高到526.1K時(shí)，水銀能全部從開口端溢出．

點(diǎn)評(píng) 該題考查理想氣體的狀態(tài)方程，該題中的第二問是一道非常容易出錯(cuò)的問題，很容易使人想到當(dāng)空氣柱的長度等于試管的總長度時(shí)，水銀才溢出，而實(shí)際上并非如此．如果按照空氣柱的長度等于試管的總長度時(shí)，水銀才溢出，計(jì)算的結(jié)果將等于521.7K，是錯(cuò)誤的．