Question

15．如圖甲所示，兩平行金屬板間接有如圖乙所示的隨時(shí)間t變化的電壓U_AB，兩板間電場(chǎng)可看做是均勻的，且兩板外無(wú)電場(chǎng)，極板長(zhǎng)L=0.2m，板間距離d=0.2m，在金屬板右側(cè)有一邊界為MN的區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN與兩板間中線OO′垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里．現(xiàn)有帶正電的粒子流沿兩板中線OO′連續(xù)射入電場(chǎng)中，已知每個(gè)粒子的速度v_o=10⁵m/s，比荷$\frac{q}{m}$=10⁸C/kg，重力忽略不計(jì)，每個(gè)粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間極短，此極短時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)可視作是恒定不變的．求：
（1）在t=0.1s時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為多少；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度；
（3）在t=0.25s時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）在t=0．ls時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子，在電場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，知運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周射出，在MN上射入點(diǎn)和射出點(diǎn)的距離為2R．
（2）帶電粒子從極板的邊緣射出電場(chǎng)時(shí)速度最大，根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)沿電場(chǎng)方向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求出偏轉(zhuǎn)的電壓，根據(jù)動(dòng)能定律求出射出電場(chǎng)的最大速度．
（3）在t=0.25s時(shí)偏轉(zhuǎn)電壓為100V，根據(jù)第二問(wèn)解出的結(jié)論知，粒子貼著上邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，知垂直進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角為$\frac{π}{4}$，射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角也為$\frac{π}{4}$，故對(duì)應(yīng)的圓心角為$\frac{1}{2}$π，根據(jù)t=$\frac{θ}{2π}$T求解時(shí)間．

解答 解：（1）在t=0.1s時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子，在極板間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，以v₀垂直磁場(chǎng)邊界垂直射入磁場(chǎng)，由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$可得：
 R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{1{0}^{5}}{1{0}^{8}×5×1{0}^{-3}}$m=0.2m
在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為：d=2R=0.4m
（2）設(shè)帶電粒子從極板的邊緣射出電場(chǎng)時(shí)的速度最大，對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)電壓為u₀，則：
 $\frac{1}{2}d$=$\frac{1}{2}•\frac{{u}_{0}q}{dm}（\frac{L}{{v}_{0}}）^{2}$      
解得：u₀=100V
由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}q{u}_{0}$  
射出的最大速度為：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$=$\sqrt{2}×1{0}^{5}$m/s
（3）在t=0.25s時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，從極板的上邊緣射出電場(chǎng)，垂直進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角為$\frac{π}{4}$，射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的夾角也為$\frac{π}{4}$，故對(duì)應(yīng)的圓周的圓心角為$\frac{π}{2}$，故在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，T=$\frac{2πR}{v}$ 
得周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
得：t=$\frac{1}{4}T$=1.57×10^-5s
答：（1）在t=0.1s時(shí)刻射入電場(chǎng)的帶電粒子，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在MN上的入射點(diǎn)和出磁場(chǎng)時(shí)在MN上的出射點(diǎn)間的距離為0.4m；
（2）帶電粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度是$\sqrt{2}$×10⁵m/s；
（3）在t=0.25s時(shí)刻從電場(chǎng)射出的帶電粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是1.57×10^-5s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清粒子在電場(chǎng)中和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律和動(dòng)能定理進(jìn)行求解．