Question

9．如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示；與x軸平行的虛線MN下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=$\frac{8}{π}$×10³N/C．在y軸上放置一足夠大的擋板．t=0時(shí)刻，一個(gè)帶正電粒子從P點(diǎn)以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁場．已知電場邊界MN到x軸的距離為$\frac{π-2}{10}$m，P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為1.3m，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg，不計(jì)粒子的重力．求粒子：
（1）在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)距x軸的最大距離；
（2）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場后經(jīng)多長時(shí)間打到檔板上；
（3）打在擋板上的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力、以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求得帶電粒子在磁場中的半徑和周期，這是做題的條件．由于磁場是間時(shí)有時(shí)無，所以結(jié)合磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化規(guī)律畫出粒子在兩個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)軌跡顯然知道粒子進(jìn)入磁場運(yùn)動(dòng)時(shí)離開x軸的最大距離是粒子軌跡圓的直徑．
（2）由運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)帶電粒子在每個(gè)時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分別求出每一個(gè)時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再相加就是打在板上的總時(shí)間．
（3）在磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的一個(gè)周期內(nèi)，帶電粒子完成一次周性運(yùn)動(dòng)，其軌跡向x軸負(fù)方向平移2R的距離，根據(jù)此特征畫出最后一次打在檔板上的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系就能求出打在檔板的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R和周期T，有
    $qBv=m\frac{{v}^{2}}{R}$      得：R=0.2m
   $T=\frac{2πm}{qB}=2π×1{0}^{-5}s$
  結(jié)合磁感應(yīng)強(qiáng)度變化圖象，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖甲所示
（1）運(yùn)動(dòng)中粒子距x軸的最大距離為d_m=2R=0.4m
（2）在0～$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$時(shí)間內(nèi)，粒子偏轉(zhuǎn)$\frac{3}{4}T$到達(dá)C點(diǎn)，接著無磁場，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)到MN線上，歷時(shí)
  t₁=$\frac{R+\overline{OM}}{v}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，之后在電場中往返時(shí)間t₂=2×$\frac{v}{qE}$=$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}s$，由2t₁+t₂=$\frac{3π}{2}×1{0}^{-5}s$知粒子回到C點(diǎn)時(shí)磁場恢復(fù)，之后又
  偏轉(zhuǎn)一周半，
  如此重復(fù)，最后在磁場中偏轉(zhuǎn)120⁰打在y軸上的J點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=$\frac{3T}{4}+\frac{3T}{2}×2+\frac{T}{3}+\frac{3T}{4}×3$=$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$
（3）由上問可知，粒子每完成一次周期性的運(yùn)動(dòng)，將向-x方向平移2R（即答圖甲中所示從P點(diǎn)移到F點(diǎn)），$\overline{OP}=1.1m=5.5R$
  故粒子打在擋板前的一次運(yùn)動(dòng)如答圖乙所示，其中I是粒子開始做圓周運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，J是粒子打在擋板上的位置．K是最后
  一 段圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，Q是I點(diǎn)與K點(diǎn)連線與y軸的交點(diǎn)．
  由題意知：$\overline{QJ}=OP-5R=0.1m$
  $\overline{KQ}=R-QI=0.1m=\frac{R}{2}$，則有：$\overline{JQ}=\sqrt{{R}^{2}-（KQ）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
 J點(diǎn)到O的距離為：
   ${y}_{J}=R+\frac{\sqrt{3}}{2}R$=$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$
答：（1）在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)距x軸的最大距離為0.4m．
（2）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場后經(jīng)$\frac{38π}{3}×1{0}^{-5}s$打到檔板上．
（3）打在擋板上的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為$\frac{2+\sqrt{3}}{10}m$．

點(diǎn)評 本題的特點(diǎn)是計(jì)算一步往下走一步，畫出一個(gè)周期內(nèi)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡以及最后一次打在檔板的軌跡是關(guān)鍵，結(jié)合幾何關(guān)系，就能求出離開x軸的最大距離、打在檔板上時(shí)間和位置坐標(biāo)．