Question

3．如圖所示，在粗糙的水平面上有一靜止的木板B，質(zhì)量為M=1kg；在其左端有一小物塊A，質(zhì)量為m=2kg；已知A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.4，B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.2，從t=0時(shí)刻開(kāi)始，在A上作用F₁=18N的水平向右的恒力，經(jīng)過(guò)t₁=3s的時(shí)間，變?yōu)樗较蛴业暮懔₂=6N，作用t₂=2s的時(shí)間后撤去外力作用，物塊A恰好不從B上掉下來(lái)．求：
（1）力F₁作用的t₁=3s的時(shí)間內(nèi)，物塊A和木板B的加速度a_A、a_B各為多大？
（2）木板B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移x_B是多大？
（3）木板B的長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 （1）分別分析AB兩個(gè)物體受力情況，由牛頓第二定律得出．
（2）需先求出撤去力后B又運(yùn)動(dòng)的距離，然后再加上前5s的距離即可．需注意全程A的加速度不變．
（3）分別找到全程A和B的位移，然后用A的位移減去B的位移即可．

解答 解：（1）分別對(duì)A和B進(jìn)行受力分析
A水平方向上受向右的力F₁和B對(duì)A的水平向左的滑動(dòng)摩擦力f_BA，由牛頓第二定律F=ma，即F₁-f_BA=ma_A，又f_BA=μ₁mg=8N，聯(lián)立①②代入數(shù)據(jù)得：${a}_{A}=5m/{s}^{2}$．
B水平方向上受向右的A對(duì)B的滑動(dòng)摩擦力f_AB和地面對(duì)B向左的滑動(dòng)摩擦力f_地，由牛頓第二定律F=ma，即：f_AB-f_地=Ma_B，又f_地=μ₂（m+M）g=6N，f_BA=f_AB=8N，代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{B}=2m/{s}^{2}$
（2）A相對(duì)于B滑動(dòng)的過(guò)程中，B的受力始終不變，即加速度始終為a_B，設(shè)F₂撤去后又經(jīng)時(shí)間t₃A滑到B的右端
3s末，A的速度為v_A=a_At₁=15m/s，B的速度為v_B=a_Bt₁=6m/s，此后A繼續(xù)相對(duì)與B向右滑動(dòng)
當(dāng)F₂=6N后，A所受合外力向左，設(shè)其加速度大小為a_A′，由牛頓第二定律得：${a}_{A}′=\frac{{f}_{BA}-{F}_{2}}{m}=1m/{s}^{2}$，所以經(jīng)t₂后物體A的速度v_A′=v_A-a_A′t₂=12m/s，此時(shí)B的速度v_B′=v_B+a_Bt₂=10m/s，所以經(jīng)t₂撤去外力后，A繼續(xù)相對(duì)B向右滑動(dòng)，此時(shí)A的加速度方向向左，大小為${a}_{A}″=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=4m/{s}^{2}$
B仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑到最右端時(shí)A和B速度相同，即12-a_A″t=6+a_Bt，解得t=1s
所以木板B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移$x=\frac{1}{2}{a}_{B}（{t}_{1}+{t}_{2}+t）^{2}$=36m．
（3）設(shè)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A相對(duì)地面的位移為x_A，所以木板B的長(zhǎng)度L=x_A-x_B
其中t₁時(shí)間內(nèi)A的位移為${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{A}$${t}_{1}^{2}$=22.5m
t₂時(shí)間內(nèi)A的位移為${x}_{2}={v}_{A}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{A}′$${t}_{2}^{2}$=28m
t時(shí)間內(nèi)A的位移為${x}_{3}={v}_{A}′t-\frac{1}{2}{a}_{A″}{t}^{2}$=10m
所以A的位移x_A=x₁+x₂+x₃=60.5m
所以木板B的長(zhǎng)度L=x_A-x_B=60.5-36=24.5m
答：（1）力F1作用的t₁=3s的時(shí)間內(nèi)，物塊A和木板B的加速度分別為5m/s²和2m/s²．
（2）木板B在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位移為36m．
（3）木板B的長(zhǎng)度L為24.5m．

點(diǎn)評(píng) 此題的難點(diǎn)在于分多個(gè)過(guò)程分析A的加速度情況，較繁瑣，學(xué)生在分析受力時(shí)較易出錯(cuò)．