Question

13．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，一端系在豎直放置、半徑為R的光滑圓環(huán)頂點P，另一端連接一套在圓環(huán)上且質(zhì)量為m的小球，開始時小球位于A點，此時彈簧處于原長且與豎直方向的夾角為45°，之后小球由靜止沿圓環(huán)下滑，小球運(yùn)動到最低點B時速率為v，此時小球與圓環(huán)之間壓力恰好為零．下列分析正確的是（　　）

• A． 小球過B點時，彈簧的彈力大小為mg+m$\frac{v^2}{R}$
• B． 小球過B點時，彈簧的彈力大小為k（2R-$\sqrt{2}$R）
• C． 從A到B的過程中，重力勢能和彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能
• D． 從A到B的過程中，重力對小球做的功等于小球克服彈簧彈力做的功

Answer 1

分析 從A到B的過程中，小球的機(jī)械能減小．從A到B的過程中，小球受到彈簧的彈力做負(fù)功，重力做正功，根據(jù)動能定理分析兩個功之間的大小關(guān)系．小球過B點時，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出彈簧的彈力．小球過B點時，合力與速度垂直，其功率為零．

解答 解：A、根據(jù)向心力公式：小球過B點時，則由重力和彈簧彈力的合力提供小球的向心力，F(xiàn)-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得：F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故A正確
由幾何知識可知彈簧的原長為$\sqrt{2}$R，則過B點時，彈簧的彈力大小F=k△x=k（2R-$\sqrt{2}$R）．故B正確；
C、以小球和彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，在小球從A到B的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，小球重力勢能減小轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能和動能．故C錯誤．
D、根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+E_P
得：E_P=mgR-$\frac{1}{2}$mv²
重力對小球做的功減去小球增加的動能等于小球克服彈簧彈力做的功，故D錯誤；
故選：AB．

點評 此題中小球的機(jī)械能不守恒，可以從能量轉(zhuǎn)化的角度進(jìn)行分析．確定功的大小，可以根據(jù)動能定理分析總功的正負(fù)來判斷．