Question

8．質(zhì)量為m的圓形糟，內(nèi)外半徑幾乎同為R，槽內(nèi)A、B兩處分別放有質(zhì)量同為m的小球，AB間的距離為槽的直徑．不計一切摩擦，現(xiàn)將系統(tǒng)置于光滑水平面上，開始系統(tǒng)靜止，現(xiàn)令兩球同時具有垂直AB向右的速度v，試求此后兩球第一次相距為R時，槽圓心運動的速度．

Answer 1

分析 建立水平方向的x軸和y軸．由系統(tǒng)的對稱性可知中心或者說槽整體將僅在x軸方向上運動，水平向的動量守恒結(jié)合機械能守恒求解．

解答 解：在水平面參考系中建立水平方向的x軸和y軸．由系統(tǒng)的對稱性可知中心或者說槽整體將僅在x軸方向上
運動．設(shè)槽中心沿x軸正方向運動的速度變?yōu)関₀，兩小球相對槽心做角速度大小為 的圓周運動，A球處于如圖

所示的位置時，相對水平面的兩個分速度為：v_x=ωRsinθ+v₀    ①
                                    v_y=-ωRcosθ        ②
B球的運動與A球的運動是對稱的．
因系統(tǒng)在x軸方向上動量守恒、機械能也守恒，因此
                         mv₀+2mv_x=2mv          ③
                         $2×\frac{1}{2}m（{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}）+\frac{1}{2}m{v}^{2}=2×\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ④
將①、②式代入③、④式得：3v₀=2v-2ωRsinθ  
                         ${ω}^{2}{R}^{2}+2ωR{v}_{0}sinθ+{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}{v}_{0}^{2}={v}^{2}$
由此解得：${v}_{0}=\frac{2}{3}（1-\frac{sinθ}{\sqrt{3-2si{n}^{2}θ}}）v$
當(dāng)兩球間距離為R時，代入可解得槽中心運動的速度為：v₀=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{\sqrt{10}}）v$
答：槽圓心運動的速度為$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{\sqrt{10}}）v$

點評 本題結(jié)合動量守恒與機械能守恒進(jìn)行求解，明確在水平向的速度的合成，綜合性強．