Question

20．如圖所示，一玻璃球體的半徑為R，O為球心，AB為直徑，在B點(diǎn)有一單色光源（可向各個(gè)方向發(fā)射光線(xiàn)），其中其發(fā)出的光從M點(diǎn)折射出時(shí)折射光線(xiàn)恰好與AB平行，則得A，M之間的弧長(zhǎng)為$\frac{πR}{3}$，求：（光在真空中的傳播速度為c，不考慮光反射后的折射）
①玻璃球體對(duì)該單色光的折射率；
②能射出玻璃球體的光在玻璃球體中傳播時(shí)間的范圍．

Answer 1

分析 ①畫(huà)出光線(xiàn)BM的光路圖，由幾何知識(shí)求出光線(xiàn)在M點(diǎn)的入射角和折射角，再求出折射率n．
②由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角．設(shè)光線(xiàn)在N點(diǎn)恰好發(fā)生全反射，入射角等于臨界角，再由幾何知識(shí)求解光在在玻璃球體中傳播距離的范圍，由v=$\frac{c}{n}$求得光在在玻璃球體中傳播速度，即可求得光在玻璃球體中傳播時(shí)間的范圍．

解答 解：①設(shè)光線(xiàn)BM在M點(diǎn)發(fā)生折射時(shí)對(duì)應(yīng)的入射角為i，折射角為r．
由公式l=θR知：弧AM對(duì)應(yīng)的圓心角 θ=$\frac{l}{R}$=$\frac{π}{3}$=60°
由幾何知識(shí)可知：∠ABM=$\frac{1}{2}$θ=30°
根據(jù)折射定律得：n=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
②光在在玻璃球體中傳播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c
設(shè)光線(xiàn)恰好在N點(diǎn)發(fā)生全反射，則∠BNO等于臨界角C，有：
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
光由B傳到N的時(shí)間 t₁=$\frac{BN}{v}$
由幾何知識(shí)可知，等腰三角形NOB中，BN的距離：
由幾何關(guān)系有  BN=2RcosC=2R$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$
聯(lián)立求得：t₁=$\frac{2\sqrt{2}R}{c}$
光由B傳到A的時(shí)間為 t₂=$\frac{AB}{v}$=$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$
所以所求的時(shí)間范圍為 $\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．
答：
①玻璃球體對(duì)該單色光的折射率是$\sqrt{3}$；
②能射出玻璃球體的光在玻璃球體中傳播時(shí)間的范圍為：$\frac{2\sqrt{2}R}{c}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}R}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 解決幾何光學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵要正確作出光路圖，分析隱含的臨界情況，知道全反射的條件，再結(jié)合折射定律和幾何知識(shí)進(jìn)行處理．