Question

如圖所示，一水平方向的傳送帶以恒定速度v=2m/s沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶右端固定著一光滑的四分之一圓弧軌道，并與弧下端相切．一質(zhì)量m=1kg的物體自圓弧軌道的最高點(diǎn)由靜止滑下，圓弧軌道的半徑尺R=0.45m，物體與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，不計(jì)物體滑過曲面與傳送帶交接處時(shí)的能量損失，傳送帶足夠長，取g=10m/s²．
（1）求物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶所經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）求物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對(duì)物體做的功及由于摩擦產(chǎn)生的熱量；
（3）求物體從第二次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對(duì)物體做的功及由于摩擦產(chǎn)生的熱量；
（4）經(jīng)過足夠長的時(shí)間之后物體能否停下來？若能，請(qǐng)說明物體停下的位置；若不能，請(qǐng)簡述物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出滑塊滑上傳送帶的速度，滑上傳送帶先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到零，然后返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng)達(dá)到傳送帶速度一起做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶所經(jīng)歷的時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理通過物體的初末速度，求出物體從第一次滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中，傳送帶對(duì)物體做的功．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出相對(duì)路程的大小，從而根據(jù)Q=f△x求出摩擦產(chǎn)生的熱量．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，物體第二次滑上傳送帶時(shí)的速度為2m/s．通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出相對(duì)路程的大小，通過動(dòng)能定理求出傳送帶對(duì)物體做功的大小，通過功能關(guān)系求出摩擦產(chǎn)生的熱量．
（4）物體不會(huì)停下來，物體在圓弧軌道和傳送帶上做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

解答：解：（1）物體沿圓弧軌道下滑的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)物體滑到傳送帶右端時(shí)的速度為v₁，則有：
mgR=

1

2

mv12．
解得v₁=3m/s．
物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a=

μmg

m

=μg=2m/s2．
物體在傳送帶上向左運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

v1

a

=1.5s．
向左運(yùn)動(dòng)的最大距離s=

v12

2a

=2.25m．
物體向右運(yùn)動(dòng)達(dá)到速度為v時(shí)，向右運(yùn)動(dòng)的距離s1=

v2

2a

=1m．
所用的時(shí)間t2=

v

a

=1s，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t3=

s-s1

v

=0.625s．
所以t=t₁+t₂+t₃=1.5+1+0.625s=3.125s．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，傳送帶對(duì)物體做的功
W=

1

2

mv2-

1

2

mv12=-2.5J．
物體相對(duì)傳送帶滑過的路程△x=

v2-v12

-2a

+v(t1+t2)=6.25m
由于摩擦產(chǎn)生的熱量Q=μmg?△x=12.5J．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，物體第二次滑上傳送帶時(shí)的速度為2m/s．
物體先向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，減速到速度為零，然后向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，直到速度變?yōu)関=2m/s．
時(shí)間t4=2

v

a

=2s．
根據(jù)動(dòng)能定理，由于物體從滑上傳送帶到離開傳送帶過程中物體的動(dòng)能沒有變化，故傳送帶對(duì)物體所做的功W₂=0．
在這段時(shí)間內(nèi)物體相對(duì)傳送帶滑過的路程△x₂=vt₄=4m
所以由于摩擦產(chǎn)生的熱量為
Q′=μmg?△x₂=0.2×1×10×4J=8J．
（4）物體不會(huì)停下來，物體在圓弧軌道和傳送帶上做周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)過程，知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．