Question

18．在半徑為R的某星球上，從高為h的平臺上水平踢出一球，欲擊中水平面上的A點(diǎn)，若兩次踢球的方向都相同，第一次初速度為v₁，著地點(diǎn)比A近了a，第二次初速度為v₂，著地點(diǎn)卻比A遠(yuǎn)了b，已知萬有引力常量為G，求該星球的質(zhì)量和密度．

Answer 1

分析 兩球平拋運(yùn)動的高度相等，則平拋運(yùn)動的時間相等，結(jié)合水平位移關(guān)系求出運(yùn)動的時間，從而得出星球表面的重力加速度，結(jié)合萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，再依據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，即可求解．

解答 解：物體兩次做平拋運(yùn)動，兩次下落高度一樣，豎直方向 h=$\frac{1}{2}$gt²，則g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，①
由幾何關(guān)系可知 v₁t+a=v₂t-b，所以t=$\frac{a+b}{{v}_{2}-{v}_{1}}$，②
設(shè)星球質(zhì)量為M，表面處一個物體質(zhì)量為m
對表面物體，萬有引力等于重力 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，則M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$ ③
聯(lián)立①②③式得 M=$\frac{2h{R}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{G（a+b）^{2}}$
再依據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$，則有：ρ=$\frac{3h（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2πGR（a+b）^{2}}$．
答：星球的質(zhì)量$\frac{2h{R}^{2}（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{G（a+b）^{2}}$，而其密度為$\frac{3h（{v}_{2}-{v}_{1}）^{2}}{2πGR（a+b）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力與平拋運(yùn)動的綜合，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及萬有引力等于重力這一理論，是解決本題的關(guān)鍵．