Question

15．如圖所示，有一類似過山車的建議軌道裝置，它由彈射裝置，水平軌道和豎直平面內的兩個圓形軌道組成，小球被彈射后獲得一個速度，依次經過水平軌道AB、第一圓軌道、水平軌道BC后，進入第二圓軌道完成一系列活動，B、C分別是兩個圓形軌道的最低點，第一個圓軌道的半徑R₁=2.0m，一個質量m=1.0kg的小球（視為質點）被彈射后獲得v₀=12.0m/s的速度，從水平軌道左側A點沿軌道向右運動，A、B間距離L₁=6.0m，B、C間距L₂=12.0m，小球與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，圓形軌道光滑，空氣阻力忽略不計，g=10m/s²
求：（1）小球第一次通過B點時，第一圓軌道對小球支持力F的大��；
（2）如果要使小球不脫離第二圓軌道，且兩圓形軌道不相互重疊，第二個圓軌道半徑R₂應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）從A到B的過程，運用動能定理求得小球第一次通過B點時的速度．在B點，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求第一圓軌道對小球支持力F的大��；
（2）如果要使小球不脫離軌道，有兩種情況，一種是小球通過第二軌道的最高點，根據第二軌道最高點的最小速度，根據動能定理求出第二圓軌道的半徑范圍．另一種情況是小球不越過第二圓軌道的四分之一圓弧，根據動能定理求出最小半徑，再根據幾何關系，抓住兩軌道不能相切，求出最大半徑．即可得到R₂應滿足的條件．

解答 解：（1）從A到B的過程，由動能定理得：
-μmgL₁=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在B點，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$
聯立解得：F=70N
（2）小球不脫離第二圓軌道，有兩種情況：
Ⅰ：小球能通過第二圓軌道的最高點，有：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
從A到第二圓軌道的最高點的過程中，由動能定理有：-μmg（L₁+L₂）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數據解得：R₂≤0.8m．
Ⅱ：當小球上升高度不能超過第二圓軌道的半徑時，從A運動到速度為零時，由動能定理有：
-μmg（L₁+L₂）-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數據解得：R₂=3.6m．
又因為兩軌道不能相互重疊，則兩圓相切時，有：
（R₁+R₂）²-（R₂-R₁）²=L₂²，
代入數據解得：R₂=18m．
綜合Ⅰ、Ⅱ可得，小球不脫離第二圓軌道應滿足的條件是：
0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．
答：（1）小球第一次通過B點時，第一圓軌道對小球支持力F的大小是70N；
（2）如果要使小球不脫離第二圓軌道，且兩圓形軌道不相互重疊，第二個圓軌道半徑R₂應滿足的條件是0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．

點評 選取研究過程，運用動能定理解題．動能定理的優(yōu)點在于適用任何運動包括曲線運動．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．