Question

20．如圖1所示，在同一豎直平面內(nèi)有兩個(gè)上下正對(duì)著的相同半圓形光滑軌道，半徑為R，它們之間的距離為x且可調(diào)，在最低點(diǎn)B處與最高點(diǎn)A處各放一個(gè)壓力傳感器．一質(zhì)量為m的小球在兩軌道間運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)壓力傳感器示數(shù)為20mg（在后面的實(shí)驗(yàn)中總保持該示數(shù)不變），g為重力加速度，不計(jì)空氣阻力．
（1）求小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)的速度大小．
（2）當(dāng)調(diào)節(jié)x=R時(shí)，求小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A處時(shí)壓力傳感器的示數(shù)．
（3）在保證小球能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A的情況下改變x，兩壓力傳感器示數(shù)差的絕對(duì)值△F也隨之改變．試通過(guò)計(jì)算在圖2坐標(biāo)系中畫出$\frac{△F}{mg}$隨$\frac{x}{R}$變化的圖象．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)受力分析可得B點(diǎn)速度；
（2）由動(dòng)能定理可求出A處球的速度，進(jìn)而受力分析求作用力；
（3）畫出$\frac{△F}{mg}$隨$\frac{x}{R}$變化的圖象必須先找出兩者關(guān)系，參照（1）（2）通過(guò)動(dòng)能定理求速度和受力分析求作用力．

解答 解：（1）對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)受力分析可得：
$20mg-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$解得${v}_{B}=\sqrt{19gR}$；
（2）對(duì)小球從B到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程用動(dòng)能定理：
$-3mgR=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$        ①
設(shè)小球在A點(diǎn)受到支持力為F，對(duì)小球在A點(diǎn)時(shí)受力分析可得：
$F+mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$        ②
聯(lián)立①②可得F=12mg．
由牛頓第三定律可得：
小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A處時(shí)壓力傳感器的示數(shù)為12mg．
（3）若恰好到A點(diǎn)，即壓力為0，對(duì)小球在A點(diǎn)受力分析可得：$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$        ③
對(duì)小球從B到A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程用動(dòng)能定理：
$-mg（x+2R）=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$        ④
聯(lián)立③④可得x=7R．即x不能超過(guò)7R．
設(shè)小球在A、B點(diǎn)受到軌道彈力分別為F_A、F_B．
對(duì)小球在A點(diǎn)時(shí)受力分析可得：
$mg+{F}_{A}=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)受力分析可得：
${F}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以
$△F={F}_{B}-{F}_{A}=（m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}+mg）-（m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}-mg）$
=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}-m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}+2mg$        ⑤
對(duì)小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程用動(dòng)能定理：
$mg（x+2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$        ⑥
聯(lián)立⑤⑥可得：
$\frac{△F}{mg}=\frac{2x}{R}+6$
$\frac{△F}{mg}$隨$\frac{x}{R}$變化的圖象如右圖所示．
答：（1）求小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)B時(shí)的速度${v}_{B}=\sqrt{19gR}$．
（2）當(dāng)調(diào)節(jié)x=R時(shí)，小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A處時(shí)壓力傳感器的示數(shù)為12mg．
（3）在保證小球能經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)A的情況下改變x，$\frac{△F}{mg}$隨$\frac{x}{R}$變化的圖象如右圖所示．

點(diǎn)評(píng) 圓周運(yùn)動(dòng)中某點(diǎn)速度可以通過(guò)動(dòng)能定理求解，對(duì)該點(diǎn)受力分析可以求解出球?qū)�軌道的作用力�?/p>