Question

8．如圖所示，光滑且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在豎直平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L，導(dǎo)軌間連接一個定值電阻，阻值為R，導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m，電阻為r=$\frac{1}{2}$R的金屬桿ab，金屬桿始終與導(dǎo)軌連接良好，其余電阻不計(jì)，整個裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場的方向垂直導(dǎo)軌平面向里．重力加速度為g，現(xiàn)讓金屬桿從虛線水平位置處由靜止釋放．
（1）求金屬桿的最大速度v_m；
（2）若從金屬桿開始下落到剛好達(dá)到最大速度的過程中，金屬桿下落的位移為x，經(jīng)歷的時間為t，為了求出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q，某同學(xué)做了如下解答：
v=$\frac{x}{t}$①I=$\frac{BLv}{R+r}$②Q=I²Rt③
聯(lián)立①②③式求解出Q．
請判斷該同學(xué)的做法是否正確；若正確請說明理由，若不正確請寫出正確解答．
（3）在金屬桿達(dá)最大速度后繼續(xù)下落的過程中，通過公式推導(dǎo)驗(yàn)證：在△t時間內(nèi)，重力對金屬桿所做的功W_G等于電路獲得的電能W_電，也等于整個電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）金屬桿釋放后受重力和向上的安培力，做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，當(dāng)加速度減為零后做勻速直線運(yùn)動，根據(jù)平衡條件、切割公式、歐姆定律公式和安培力公式列式求解；
（2）該同學(xué)的解答中，認(rèn)為感應(yīng)電流是恒定電流是錯誤的，應(yīng)該利用功能關(guān)系列式求解；
（3）根據(jù)功的定義求解重力的功，根據(jù)切割公式、歐姆定律公式、安培力公式和電功率公式列式證明．

解答 解：（1）金屬桿下落中受重力和支持力兩個力作用，其運(yùn)動滿足：mg-BIL=ma，
其中I=$\frac{BLv}{r+R}$，
故$mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=ma$，
金屬桿做加速度減小的加速運(yùn)動，當(dāng)加速度為零時，速度達(dá)到最大，故：
$mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}=0$，
解得：v_m=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）該同學(xué)的做法錯誤，正確做法如下：
從金屬桿開始下落到剛好達(dá)到最大速度的過程中，由功能關(guān)系，有：
mgx-Q_總=$\frac{1}{2}m（\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}）^{2}$，
解得：Q_總=mgx-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$，
故${Q_總}\frac{R}{R+r}=\frac{2}{3}（mgx-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{8{B^4}{L^4}}}）$；
（3）電動勢E=BLv，由于金屬桿達(dá)到最大速度后做勻速直線運(yùn)動，由平衡條件，有：G=F=BIL，
在△t時間內(nèi)，重力對金屬桿所做的功：W_G=Gv△t=Fv△t=BILv△t，
電路獲得的電能：W_電=qE=EI△t=BILv△t，
故重力對金屬桿所做的功W_G等于電路獲得的電能W_電，
回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=I²（R+r）△t=I（R+r）I△t=qE=EI△t=W_電；
故電能W_電等于整個回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
答：（1）金屬桿的最大速度v_m為$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）該同學(xué)的做法不正確，正確解答如上；
（3）證明過程如上．

點(diǎn)評 本題是滑桿問題，關(guān)鍵是明確桿的受力情況和運(yùn)動情況，要熟練運(yùn)用切割公式、安培力公式列式分析，還要熟悉電路中的功能關(guān)系．