Question

如圖所示，在O≤x≤a、o≤y≤a/2范圍內(nèi)有垂直于x平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0-90°范圍內(nèi)。已知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a／2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的
（1）速度的大小；
（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦。

Answer 1

解：（1）設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式，得
  ①
由①式得  ②
當(dāng)a/2＜R＜a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的上邊界相切，如圖所示。設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意t=T/4，得  ③

設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系可得
Rsinα=R一a/2 ④
Rsinα=a－Rcosα ⑤
又sin²α+cos²α=1  ⑥
由④⑤⑥式得  ⑦
由②⑦式得  ⑧
（2）由④⑦式得  ⑨