Question

7．如圖所示，質量m=2.0×10⁴kg 的汽車以不 變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20m．如果橋面承受的壓力不得超過3.0×10⁵N，則：
（1）汽車允許的最大速率是多少？
（2）若以所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 汽車在最低點，靠支持力和重力的合力提供向心力，合力向上，支持力大于重力，在最高點，靠重力和支持力的合力提供向心力，合力向下，支持力小于重力，結合牛頓第二定律求出汽車允許的最大速率，以及在路面上行駛時的最小壓力．

解答 解：（1）汽車在最低點受到的支持力最大，此時速度最大，根據牛頓定律得：
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據：$3×1{0}^{5}-2×1{0}^{5}=2×1{0}^{4}×\frac{{v}^{2}}{20}$
解得：v=10m/s．
（2）當汽車運動到最高點時，支持力最小，根據牛頓第二定律得：
$mg-N′=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據：$2×1{0}^{5}-N′=2×1{0}^{4}×\frac{100}{20}$，
解得：N′=1.0×10⁵N．
根據牛頓第三定律得，汽車對橋面的最小壓力為：N″=N′=1.0×10⁵N．
答：（1）汽車允許的最大速率是10m/s；
（2）若以所求速度行駛，汽車對橋面的最小壓力是1.0×10⁵N．

點評 解決本題的關鍵知道向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．