Question

某校在水平直道舉行托乒乓球跑步比賽，比賽距離為S。某同學將球置于球拍中心，從靜止開始做勻加速直線運動，加速度大小為a，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點。整個過程中球一直保持在球拍中心不動。在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設球在運動中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g。

(1)求空氣阻力大小與球速大小的比例系數k；

(2)求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式；

(3)整個勻速跑階段，若該同學速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計球在球拍上的移動引起的空氣阻力變化，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件。

Answer 1

解：

 (1)在勻速運動階段，有mgtanθ₀＝kv₀                                      (1分)

得k＝mgtanθ₀/v₀                                                           (1分)

(2)加速階段，設球拍對球的支持力為N′，有

N′sinθ－kv＝ma                                                         ( 1分)

N′cosθ＝mg                                                             ( 1分)

得tanθ＝＋tanθ₀                                                       (2分)

(3)以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有F＝mg/cosθ₀            (1分)

球拍傾角為θ₀＋β時，空氣阻力與重力的合力不變，

設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有Fsinβ＝ma′                        (1分)

設勻速跑階段所用時間為t，有

t＝－                                                                 (2分)

球不從球拍上掉落的條件a′t²≤r                                           (2分)

得                                                   (2分)