Question

某校在水平直道舉行托乒乓球跑步比賽，比賽距離為S。某同學(xué)將球置于球拍中心，從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a，當(dāng)速度達(dá)到v₀時(shí)，再以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)跑至終點(diǎn)。整個(gè)過(guò)程中球一直保持在球拍中心不動(dòng)。在勻速直線運(yùn)動(dòng)階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示，設(shè)球在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運(yùn)動(dòng)方向相反，不計(jì)球與球拍間的摩擦，球的質(zhì)量為m，重力加速度為g。

(1)求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；

(2)求在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關(guān)系式；

(3)整個(gè)勻速跑階段，若該同學(xué)速度仍為v₀，而球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，不計(jì)球在球拍上的移動(dòng)引起的空氣阻力變化，為保證到達(dá)終點(diǎn)前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應(yīng)滿(mǎn)足的條件。

 

Answer 1

【答案】

（1）mgtanθ₀；k＝mgtanθ₀/v₀ （2）tanθ＝＋tanθ₀（3）

【解析】

試題分析： (1)在勻速運(yùn)動(dòng)階段，有mgtanθ₀＝kv₀                                     得k＝mgtanθ₀/v₀                              

(2)加速階段，設(shè)球拍對(duì)球的支持力為N′，有

N′sinθ－kv＝ma                    

N′cosθ＝mg  

得tanθ＝＋tanθ₀

(3)以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)空氣阻力與重力的合力為F，有F＝mg/cosθ₀ 

球拍傾角為θ₀＋β時(shí)，空氣阻力與重力的合力不變，

設(shè)球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有Fsinβ＝ma′

設(shè)勻速跑階段所用時(shí)間為t，有

t＝－      

球不從球拍上掉落的條件a′t²≤r   

得                         

考點(diǎn)：受力分析、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)題目提取信息，并建立相應(yīng)模型求解問(wèn)題的綜合能力。在解本題過(guò)程中，通過(guò)牛頓第二定律列示求物體在平衡或加速階段的受力，從而化簡(jiǎn)得到結(jié)果。在通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的列示分球，求出角度滿(mǎn)足的條件。