Question

如圖所示，有一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)，上面放置勁度系數(shù)為k的彈簧，彈簧的一端固定于軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)），物塊與圓盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開(kāi)始時(shí)彈簧未發(fā)生形變，長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀，若最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，重力加速度為g，物塊A始終與圓盤(pán)一起轉(zhuǎn)動(dòng)．則：
（1）圓盤(pán)的角速度多大時(shí)，物塊A將開(kāi)始滑動(dòng)？
（2）當(dāng)圓盤(pán)角速度緩慢地增加到4

μg L0

時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量是多少？（彈簧伸長(zhǎng)在彈性限度內(nèi)且物塊未脫離圓盤(pán)）

Answer 1

分析：（1）物體A隨圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，若圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較小，由靜摩擦力提供向心力；當(dāng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)速較大時(shí)，彈力與摩擦力的合力提供向心力．物體A剛開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)，彈簧的彈力為零，靜摩擦力達(dá)到最大值，由靜摩擦力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度ω₀．
（2）當(dāng)角速度達(dá)到2ω₀時(shí)，由彈力與摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和胡克定律求解彈簧的伸長(zhǎng)量△x．

解答：解：（1）設(shè)盤(pán)的角速度為ω₀時(shí)，物塊A將開(kāi)始滑動(dòng)，則
μmg=mRω₀²時(shí)   
解得  ω0=

μg L0

（2）設(shè)此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為△x，則
μmg+k△x=mrω²，r=R+△x，
解得  △x=

15μmgL0

kL0-16μmg

答：（1）圓盤(pán)的角速度為

μg L0

時(shí)，物塊A將開(kāi)始滑動(dòng)；
（2）當(dāng)圓盤(pán)角速度緩慢地增加到4

μg L0

時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量是

15μmgL0

kL0-16μmg

．

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)物體相對(duì)于接觸物體剛要滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，這是經(jīng)常用到的臨界條件．本題關(guān)鍵是分析物體的受力情況．