Question

9．如圖所示，質(zhì)量為m=1kg的滑塊，在水平力作用下靜止在傾角為θ=30°的光滑斜面上，斜面的末端B與水平傳送帶相接（滑塊經(jīng)過此位置滑上傳送帶時(shí)無能量損失），傳送帶的運(yùn)行速度為v₀=3m/s，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.4m；今將水平力撤去，當(dāng)滑塊滑到傳送帶右端C時(shí)，恰好與傳送帶速度相同．滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，取g=10m/s²，求：
（1）水平作用力F的大�。�
（2）滑塊下滑的高度；
（3）滑塊在傳送帶上滑行的整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）對(duì)滑塊受力分析，由共點(diǎn)力的平衡條件可得出水平作用力F的大小；
（2）由于滑塊滑到B點(diǎn)的速度未知，故應(yīng)分別對(duì)符合條件的兩種情況進(jìn)行討論，由動(dòng)能定理可求得滑塊下落的高度；
（3）熱量與滑塊和傳送帶間的相對(duì)位移成正比，即Q=fs，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得傳送帶通過的位移，即可求得相對(duì)位移，從而求得摩擦生熱．

解答 解：（1）滑塊受到水平推力F、重力mg和支持力N處于平衡，如圖所示，由平衡條件可得：
水平推力 F=mgtanθ=1×10×tan30°=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$N
（2）設(shè)滑塊從高為h處上滑，到達(dá)斜面底端速度為v，
下滑過程機(jī)械能守恒，則得：
   mgh=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gh}$；
若滑塊沖上傳送帶的速度小于傳送帶速度，則滑塊在帶上由于受到向右的滑動(dòng)摩擦力而做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
   μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
聯(lián)立解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-μL=$\frac{{3}^{2}}{20}$-0.25×1.4=0.1m；
若滑塊沖上傳送帶時(shí)的速度大于傳送帶的速度，則滑塊由于受到向左的滑動(dòng)摩擦力而做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²
解得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$+μL=$\frac{{3}^{2}}{20}$+0.25×1.4=0.8m
故滑塊下滑的高度應(yīng)為0.1m或0.8m；
（3）若滑塊進(jìn)入傳送帶速度小于v₀=3m/s，由上題可得：v=$\sqrt{2}$m/s
設(shè)滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則t時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移：
   s=v₀t
對(duì)滑塊由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知：
v₀=v+at
滑塊的加速度 a=$\frac{μmg}{m}$=μg
聯(lián)立解得：s=v₀$\frac{{v}_{0}-v}{a}$
滑塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的位移△s=s-L
相對(duì)滑動(dòng)生成的熱量 Q=μmg△s
代入數(shù)據(jù)解得 Q≈1.26J．
若滑塊進(jìn)入傳送帶速度大于3m/s，由上題可得：v=4m/s
設(shè)滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則t時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移：
   s=v₀t
對(duì)滑塊由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知：
v₀=v-at
聯(lián)立解得：s=v₀$\frac{v-{v}_{0}}{a}$
滑塊相對(duì)傳送帶滑動(dòng)的位移△s=L-s
相對(duì)滑動(dòng)生成的熱量 Q=μmg△s
代入數(shù)據(jù)解得 Q=0.5J．
答：
（1）水平作用力F為$\frac{10\sqrt{3}}{3}$N；
（2）滑塊下滑的高度可能為0.1m或0.8m；
（3）相對(duì)滑塊生成的熱量為1.26J或0.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題在研究傳送帶問題時(shí)，要注意傳送帶與滑塊速度間的關(guān)系，從而確定出滑塊的運(yùn)動(dòng)情況；知道摩擦生熱由摩擦力乘以相對(duì)位移求出．要注意不能漏解．