Question

19．如圖所示，豎直放置的金屬框架足夠長，兩豎直導(dǎo)軌的距離為L，定值電阻的阻值為R，電容器的電容為C，其耐壓值足夠大．開關(guān)處于閉合狀態(tài)，空間存在垂直框架平面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿當(dāng)靜止開始下落，在下落過程中金屬桿與框架接觸良好，其他電阻不計，重力加速度為g．則：
（1）金屬桿速度達到最大值時為多大；
（2）金屬桿速度達到最大值后，斷開開關(guān)S，金屬桿再一下落高度為h時，速度為多大．

Answer 1

分析 （1）形狀閉合時，金屬棒從靜止開始下落，先做加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，達到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)重力的功率等于電功率列式求最大速度．
（2）金屬桿達到最大速度后，將開關(guān)突然斷開時，電容器將要充電，電路中充電電流，ab棒受到安培力，安培力的瞬時表達式F=BiL，i=$\frac{△Q}{△t}$，又U=$\frac{R}{R+r}$E=BLv，再結(jié)合牛頓第二定律求得瞬時加速度，即可判斷棒的運動性質(zhì)．再由運動學(xué)公式求速度．

解答 解：（1）金屬桿速度達到最大值時做勻速運動．由 E=BLv，I=$\frac{E}{R+r}$，F(xiàn)_安=BIL得安培力為：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$
根據(jù)平衡條件得 F_安=mg
解得最大速度為 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）金屬桿速度達到最大值后，斷開開關(guān)S瞬間，棒電流為零，棒將加速下降，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢增大，對電容器充電，設(shè)充電的瞬時電流為i．
則 i=$\frac{△Q}{△t}$，又Q=CU=C$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{CRBLv}{R+r}$
可得 i=$\frac{CRBL}{R+r}$•$\frac{△v}{△t}$=$\frac{CRBL}{R+r}$a，a是瞬時加速度．
根據(jù)牛頓第二定律得：mg-BiL=ma
解得：a=$\frac{mg（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}$，可知棒做勻加速運動
由v^′2-v²=2ah得金屬桿再一下落高度為h時速度為：v′=$\sqrt{{v}^{2}+2ah}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2mgh（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}}$
答：（1）金屬桿速度達到最大值時為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金屬桿再一下落高度為h時速度為$\sqrt{\frac{{m}^{2}{g}^{2}（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{2mgh（R+r）}{CR{B}^{2}{L}^{2}+m（R+r）}}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識的綜合，關(guān)鍵要會推導(dǎo)加速度的表達式，通過分析棒的受力情況，確定其運動情況．