Question

8．如圖所示，一質(zhì)量為m的小球用細(xì)線與懸點(diǎn)O₁相連，開(kāi)始時(shí)球與O₁在同一水平線上，細(xì)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，且剛好拉直，細(xì)線能承受的最大位力為4mg，CD為固定在豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道，半徑為R=L，圓弧所對(duì)的圓心角θ=53°，軌道下端D的切線豎直，并與豎直墻平滑連接，墻邊立一豎直彈簧，上端剛好與D點(diǎn)對(duì)齊，彈簧的勁度系數(shù)為k=$\frac{5mg}{L}$，懸點(diǎn)O₁下方A點(diǎn)有一個(gè)釘子，小球由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線碰到釘子剛好被拉斷（不是碰斷），小球平拋運(yùn)動(dòng)剛好從C點(diǎn)無(wú)碰撞地進(jìn)人圓弧軌道，沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)并向下壓彈簧，小球動(dòng)能最大時(shí)，已知彈簧的彈性勢(shì)能為E_p，重力加速度為g（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
（1）A點(diǎn)離懸點(diǎn)O₁的距離；
（2）小球向下壓彈簧的過(guò)程中動(dòng)能的最大值．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒求得在B的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求得半徑，即可求得距離；
（2）由受力平衡求得壓縮量，進(jìn)而求得彈性勢(shì)能，然后根據(jù)小球在C的速度方向求得BC的豎直高度，即可對(duì)整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求得動(dòng)能．

解答 解：（1）小球下擺到B的過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
又有小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線碰到釘子剛好被拉斷，那么由牛頓第二定律可得：$4mg-mg=3mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{AB}=\frac{2mgL}{AB}$
解得：$AB=\frac{2}{3}L$，
那么A點(diǎn)離懸點(diǎn)O₁的距離為$L-\frac{2}{3}L=\frac{1}{3}L$；
（2）小球整個(gè)過(guò)程只有重力、彈簧彈力做功，即機(jī)械能守恒；
小球向下壓彈簧的過(guò)程中，當(dāng)彈簧彈力等于小球重力時(shí)，小球的合外力為零，動(dòng)能取得最大值；
故當(dāng)小球取得動(dòng)能最大值時(shí)，小球從D向下運(yùn)動(dòng)了$x=\frac{mg}{k}=\frac{1}{5}L$，彈簧彈性勢(shì)能為：${E}_{p}=\frac{1}{2}k{x}^{2}=\frac{1}{10}mgL$；
小球在B點(diǎn)的速度為：${v}_{B}=\sqrt{2gL}$，又有小球從B到C做平拋運(yùn)動(dòng)，所以，小球在C點(diǎn)的豎直分速度${v}_{y}=\frac{{v}_{B}}{tan53°}=\frac{3}{4}\sqrt{2gL}$
所以，BC之間的豎直高度為：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{9}{16}L$；
那么，對(duì)小球從靜止下落到最大動(dòng)能處應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$mg（L+h+Rsinθ+x）-{E}_{p}=\frac{181}{80}mgL={E}_{kmax}$；
答：（1）A點(diǎn)離懸點(diǎn)O₁的距離為$\frac{1}{3}L$；
（2）小球向下壓彈簧的過(guò)程中動(dòng)能的最大值為$\frac{181}{80}mgL$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．