Question

8．如圖所示，是一傳送裝置，其中AB段粗糙，AB段長(zhǎng)L=2m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.3，BC、DEN段均可視為光滑，DEN是半徑為r=0.5m的半圓形軌道，其直徑DN沿豎直方向，C位于DN豎直線上，CD間的距離恰能讓小球自由通過．其中N點(diǎn)又與足夠長(zhǎng)的水平傳送帶的右端平滑對(duì)接，傳送帶以8m/s的速率沿順時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小球與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.5．左端豎直墻上固定有一輕質(zhì)彈簧，現(xiàn)用一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球壓縮彈簧至A點(diǎn)后由靜止釋放（小球和彈簧不粘連），小球剛好能沿圓弧DEN軌道滑下，而始終不脫離軌道．已知小球質(zhì)量m=0.2kg，g 取10m/s²．
（1）求小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度的大小及彈簧壓縮至A點(diǎn)時(shí)所具有的彈性勢(shì)能；
（2）求小球第一次滑上傳送帶的過程中，小球與傳送帶發(fā)生的相對(duì)位移大��；
（3）如果希望小球能沿著半圓形軌道上下不斷地來回運(yùn)動(dòng)，且始終不脫離軌道，則傳送帶的速度應(yīng)滿足什么要求？

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律與能量守恒定律可以求出彈性勢(shì)能．
（2）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出物塊的速度，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出痕跡的長(zhǎng)度．
（3）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出初速度，然后答題．

解答 解：（1）小球剛好能沿DEN軌道滑下，在圓周最高點(diǎn)D點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
    mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s，
從A點(diǎn)到D點(diǎn)，由能量守恒得：E_p=μ₁mgL+$\frac{1}{2}$mv_D²，
聯(lián)立以上兩式并代入數(shù)據(jù)解得：E_p=1.7J；
（2）從D到N，根據(jù)機(jī)械能守恒可得：
   $\frac{1}{2}$mv_D²+mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_N²
代入數(shù)據(jù)解得：v_N=5m/s，
在傳送帶上物塊，由牛頓第二定律得：μ₂mg=ma
代入數(shù)據(jù)解得：a=5m/s²，
物塊向左減速有：v_N=at₁，
代入數(shù)據(jù)解得：t₁=1s，
物塊向左運(yùn)動(dòng)的位移：S₁=$\frac{1}{2}$at₁²=2.5m
傳送帶向右運(yùn)動(dòng)的位移為：S₂=vt=8×1=8m．
物塊速度減至零后向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，物塊與傳送帶速度相等的需要的時(shí)間：t₂=$\frac{v}{a}$=$\frac{8}{5}$=1.6s，
物塊向右加速運(yùn)動(dòng)的位移：S₃=$\frac{v}{2}{t}_{2}$=$\frac{8}{2}×1.6$=0.64m，
傳送帶向右運(yùn)動(dòng)的位移：S₄=vt₂=1.28m，
小球與傳送帶發(fā)生的相對(duì)位移大小為：△S=S₁+S₂+S₄-S₃=11.14m；
（3）設(shè)物塊在傳送帶上返回到右端的速度為v₀，
若物塊恰能沖到EF軌道圓心的等高處，
由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgr，代入數(shù)據(jù)解得：v₀=$\sqrt{2gr}$=$\sqrt{10}$m/s，
則傳送帶的速度必須滿足：v₀≤$\sqrt{10}$m/s；
答：
（1）小球到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{5}$m/s，彈簧壓縮至A點(diǎn)時(shí)所具有的彈性勢(shì)能為1.7J；
（2）小球與傳送帶發(fā)生的相對(duì)位移大小為11.14m．
（3）傳送帶的速度應(yīng)滿足的要求是：v₀≤$\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度、彈性勢(shì)能、痕跡長(zhǎng)度、傳送帶速度問題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、能量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題．